§3.4定积分与微积分基本定理1．定积分的定义(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)作和式．当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作__________，即f(x)dx＝．其中f(x)称为________，x称为__________，f(x)dx称为__________，[a，b]为__________，a为积分下限，b为积分上限，“∫”称为积分号．(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、___________.2．定积分的性质(1)kf(x)dx＝____________(k为常数)；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝____________________；(3)f(x)dx＝____________(其中a＜c＜b)．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝____________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F(b)－F(a)记作__________，即f(x)dx＝__________＝__________.4．定积分在几何中的简单应用(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S＝____________.(2)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为负时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S＝____________.(3)当x∈[a，b]有f(x)＞g(x)＞0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S＝____________.一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(4)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝__________(其中a>0)；若f(x)是奇函数，则f(x)dx＝____________(其中a>0)．5．定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V(t)，速度方向不变)在时间区间[a，b]上所经过的路程S＝____________.(2)在变力F＝F(x)的作用下，物体沿力F的方向作直线运动，并且由x＝a运动到x＝b(a＜b)，则力F对物体所做的功W＝____________.(3)在变力F＝F(x)的作用下，物体沿与力F的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x＝a运动到x＝b(a＜b)，则力F对物体所做的功W＝____________.自查自纠1．(1)f(x)dx被积函数积分变量被积式积分区间(2)分割取极限2．(1)kf(x)dx(2)f1(x)dx±f2(x)dx(3)f(x)dx＋f(x)dx3．F(b)－F(a)F(x)|F(b)－F(a)F(x)|4．(1)f(x)dx(2)－f(x)dx(3)[f(x)－g(x)]dx(4)2f(x)dx05．(1)V(t)dt(2)F(x)dx(3)F(x)cosθdx定积分(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1解：(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝(1＋e)－(0＋1)＝e.故选C.已知函数f(x)＝则f(x)dx＝()A．0B．1C．2D．3解：f(x)dx＝1dx＋2dx＝x|＋2x|＝(1－0)＋(4－2)＝3.故选D.()若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝()A．－1B．－C.D．1解：f(x)dx为常数，不妨设a＝f(x)dx.则f(x)＝x2＋2a，∴a＝(x2＋2a)dx＝|，∴a＝＋2a，∴a＝－.故选B.()曲线y＝x2与y＝x所围成的封闭图形的面积为________．解：由题意画出图形如图，得到积分上限为1，积分下限为0，因此直线y＝x与曲线y＝x2所围图形的面积S＝(x－x2)dx＝|＝－＝.故填.从平衡位置开始，如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功________J.解：设F(x)＝kx，又F(0.01)＝1，∴k＝100，W＝100xdx＝100×x2|＝0.18J，故填0.18.类型一计算简单函数的定积分计算下列定积分：(1)(3x2－2x＋1)dx；(2)dx；(3)(sinx－cosx)dx.解：(1)(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|＝24.(2)dx＝|＝－ln2.(3)(sinx－cosx)dx＝sinxdx－cosxdx＝(－cosx)|－sinx|＝2.【点拨】求定积分的步骤：①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；③分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；④利用牛顿一莱布尼兹公式求出各个定积分的值；⑤计算所求定积分的值．计算下列定积分：...
