2.2.2双曲线的简单几何性质一、选择题1．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为()A．－＝1B．－＝1C．－＝1或－＝1D．以上都不对[答案]C[解析]当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝4，双曲线方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3，双曲线方程为－＝1.2．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A．B．C．1D．[答案]B[解析]双曲线x2－y2＝1的一个顶点为A(1,0)，一条渐近线为y＝x，则A(1,0)到y＝x距离为d＝＝.3．椭圆＋＝1和双曲线－＝1有共同的焦点，则实数n的值是()A．±5B．±3C．25D．9[答案]B[解析]依题意，34－n2＝n2＋16，解得n＝±3，故答案为B．4．若实数k满足0B．m≥1C．m>1D．m>2[答案]C[解析]本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解．双曲线离心率e＝>，所以m>1，选C．二、填空题7．双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为__________________.[答案]13[解析]由a＝4，b＝3，得c＝5.设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|＝(a＋c＋c－a)＝c＝5，由双曲线的定义，得|PF1|＝2a＋|PF2|＝8＋5＝13.8．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝__________________，b＝__________________.[答案]12[解析]利用共渐近线方程求解．与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ，即－＝1.由题意知c＝，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝，则a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.9．(2015·天津市六校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为__________________.[答案]－＝1[解析]椭圆中，a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝7，∴离心率e1＝，焦点(±，0)，∴双曲线的离心率e2＝＝，焦点坐标为(±，0)，∴c＝，a＝2，从而b2＝c2－a2＝3，∴双曲线方程为－＝1.三、解答题10．(1)求与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程；(2)求虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程．[解析](1)设双曲线的方程为－＝1(4<λ<9)，则a2＝9－λ，b2＝λ－4，∴c2＝a2＋b2＝5， e＝，∴e2＝＝＝，解得λ＝5，∴所求双曲线的方程为－y2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，所以可设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)．由题设知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.一、选择题1．已知方程ax2－ay2＝b，且a、b异号，则方程表示()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线[答案]D[解析]方程变形为－＝1，由a、b异号知<0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故答案为D．2．(2015·济南质检)已知双曲线－＝1的一个焦点在圆x2＋y2－4x－5＝0上，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x[答案]B[解析] 方程表示双曲线，∴m>0， a2＝9，b2＝m，∴c2＝a2＋b2＝9＋m，∴c＝， 双曲线的一个焦点在圆上，∴是方程x2－4x－5＝0的根，∴＝5，∴m＝16，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选B．3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±2x[答案]C[解析]由题意可知2a＝×2c＝c，则4a2＝c2＝a2＋b2，解得＝3，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±x.4．(2015·安徽理)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x...
