课时作业61绝对值不等式1．(2018·合肥市第二次质量检测)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为2.(1)求实数a的值；(2)解不等式f(x)≤5.解析：(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，从而解得a＝2.(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝.结合函数y＝f(x)的图象和，不等式f(x)≤5的解集为.2．(2018·江苏三校联考)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．解析：(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；当29；(2)设关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}，如果A∪B＝A，求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝5时，f(x)＝|x＋5|＋|x－2|.①当x≥2时，由f(x)>9，得2x＋3>9，解得x>3；②当－5≤x<2时，由f(x)>9，得7>9，此时不等式无解；③当x<－5时，由f(x)>9，得－2x－3>9，解得x<－6.综上所述，当a＝5时，关于x的不等式f(x)>9的解集为{x∈R|x<－6或x>3}．(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A.又B＝{x||2x－1|≤3}＝{x∈R|－1≤x≤2}，关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，∴当－1≤x≤2时，f(x)≤|x－4|恒成立．由f(x)≤|x－4|得|x＋a|≤2.∴当－1≤x≤2时，|x＋a|≤2恒成立，即－2－x≤a≤2－x恒成立．∴实数a的取值范围为[－1,0]．4．(2018·南昌市第一次模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.(1)若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求实数a的取值范围；(2)当a<2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．解析：(1)由题f(x)≤2－|x－1|，可得＋|x－1|≤1.而由绝对值的几何意义知＋|x－1|≥，由不等式f(x)≤2－|x－1|有解，得≤1，即0≤a≤4.故实数a的取值范围是[0,4]．(2)函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a<2，即<1时，f(x)＝所以f(x)min＝f＝－＋1＝3，得a＝－4<2(符合题意)，故a＝－4.5．(2018·长春二模)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)如果对任意的x∈R，f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围．解析：解法一：(1)当a＝2时，f(x)＝|x－1|＋|x－2|.由f(x)≥3得|x－1|＋|x－2|≥3，由绝对值的几何意义知不等式的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)．(2)若a＝1，则f(x)＝2|x－1|，显然不满足题设条件；若a<1，则f(x)＝，易知f(x)的最小值为1－a；若a>1，则f(x)＝，易知f(x)的最小值为a－1.所以对于任意的x∈R，f(x)≥2恒成立的充要条件是|a－1|≥2，解得a≤－1或a≥3，从而可得实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．解法二：(1)同解法一；(2)根据绝对值的几何性质可知，f(x)＝|x－1|＋|x－a|表示x轴上的点x到1和a两点的距离之和，所以f(x)的最小值为|a－1|，故对任意的x∈R，f(x)≥2恒成立的充要条件是|a－1|≥2，故实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[能力挑战]6．(2017·新课标全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解析：(1)f(x)＝当x＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝，故m的取值范围为.
