高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示应用案巩固提升 新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题VIP专享VIP免费

6.3.5平面向量数量积的坐标表示[A基础达标]1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．12解析：选D.2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A．0B．1C．－2D．2解析：选D.2a－b＝(3，n)，由2a－b与b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，所以n2＝3，所以|a|＝2.3．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()A．4B．2C．8D．8解析：选D.易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8.4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a＝(，1)，b＝(x，－3)，c＝(1，－)，若b∥c，则a－b与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选D.因为b∥c，所以－x＝(－3)×1，所以x＝，所以b＝(，－3)，a－b＝(0，4)．所以a－b与b的夹角的余弦值为＝＝－，所以a－b与b的夹角为150°.5．已知O为坐标原点，向量OA＝(2，2)，OB＝(4，1)，在x轴上有一点P使得AP·BP有最小值，则点P的坐标是()A．(－3，0)B．(2，0)C．(3，0)D．(4，0)解析：选C.设点P的坐标为(x，0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)．AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以当x＝3时，AP·BP有最小值1.此时点P的坐标为(3，0)．6．设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，则m＝________．解析：a＋b＝(m＋1，－3)＋(1，m－1)＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m＋1，－3)－(1，m－1)＝(m，－2－m)，因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0，所以m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，解得m＝－2.答案：－27．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a＝(－2，1)，b＝(λ，)，且|λa＋b|＝，则λ＝________．解析：由已知易得λa＋b＝，则(－λ)2＋＝，解得λ＝1或λ＝－.答案：1或－8．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为______．解析：2a－b＝(2cosθ－，2sinθ)，|2a－b|＝＝＝，当且仅当cosθ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.答案：2＋9．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)．(1)求a－b及|a－b|；(2)若ka＋b与a－b垂直，求实数k的值．解：(1)a－b＝(4，0)，|a－b|＝＝4.(2)ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－b＝(4，0)，因为ka＋b与a－b垂直，所以(ka＋b)·(a－b)＝4(k－3)＋(2k＋2)·0＝0，解得k＝3.10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1)．(1)若|c|＝3，且c∥a，求向量c的坐标；(2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.解：(1)设c＝(x，y)，由|c|＝3，c∥a可得所以或故c＝(－3，3)或c＝(3，－3)．(2)因为|a|＝，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1，故cosθ＝＝，所以θ＝.[B能力提升]11．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角大小为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选C.设a与c的夹角为θ，依题意，得a＋b＝(－1，－2)，|a|＝.设c＝(x，y)，因为(a＋b)·c＝，所以x＋2y＝－.又a·c＝x＋2y，所以cosθ＝＝＝＝－，所以a与c的夹角为120°.12．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EM·EC的取值范围是()A.B.C.D.解析：选C.以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E(x，0)，0≤x≤1.因为M，C(1，1)，所以EM＝，EC＝(1－x，1)，所以EM·EC＝·(1－x，1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即EM·EC的取值范围是.13．已知点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值为________．解析：法一：(定义法)如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cosA＝，cosC＝，所以AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝BC·CA＋CA·AB＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×－15×＝－25.法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(0，0)，C(0，4)．所以AB＝(－3，0)，BC＝(0，4)，CA＝(3，－4)．所以AB·BC＝－3×0＋0...