第三讲柯西不等式与排序不等式检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知m2+n2=2,t2+s2=8,则|mt+ns|的最大值为()A.2B.4C.8D.16答案：B2设x1,x2,…,xn取不同的正整数,则m¿x112+x222+…+xnn2的最小值是()A.1B.2C.1+12+13+…+1nD.1+122+132+…+1n2解析：根据排序不等式,有x112+x222+…+xnn2≥112+222+…+nn2=1+12+…+1n.答案：C3已知3x2+2y2≤1,则3x+2y的取值范围是()A.[0,√5¿B.[−√5,0]C.[−√5,√5¿D.[−5,5]解析：因为|3x+2y|≤√3x2+2y2·√(√3)2+(√2)2≤√5,所以−√5≤3x+2y≤√5.答案：C4已知x,y,z是正实数,且1x+2y+3z=1,则x+y2+z3的最小值是()A.5B.6C.8D.9解析：由题意知x+y2+z3=(1x+2y+3z)(x+y2+z3)≥(1√x·√x+√2y·√y2+√3z·√z3)2=9,当且仅当1x=2y=3z=13,即x=3,y=6,z=9时,等号成立.答案：D5设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排列,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是()A.(0,30]B.(20,30]C.[20,30]D.[20,30)1解析：由排序原理,得a1+2a2+3a3+4a4≤12+22+32+42=30,a1+2a2+3a3+4a4≥1×4+2×3+3×2+4×1=20.故a1+2a2+3a3+4a4∈[20,30].答案：C6若x+y+z=6,则x2+y2+z2的最小值为()A.6B.12C.24D.36解析：x2+y2+z2=(12+12+12)(x2+y2+z2)×13≥(x+y+z)2×13=36×13=12,当且仅当x=y=z=2时,等号成立.答案：B7设a,b,c为正实数,a+b+4c=1,则√a+√b+2√c的最大值是()A.√5B.√3C.2√3D.√32解析：1=a+b+4c=(√a)2+(√b)2+(2√c)2¿13[(√a)2+(√b)2+(2√c)2]·(12+12+12)≥(√a+√b+2√c)2·13.故(√a+√b+2√c)2≤3,√a+√b+2√c≤√3,当且仅当a¿13,b=13,c=112时,等号成立.答案：B8若x,y,z是非负实数,且9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值为()A.9B.10C.14D.15解析：u2=(3x+6y+5z)2≤[(3x)2+(2√3y¿2+(√5z)2¿·[12+(√3)2+(√5)2¿=9×9=81,当且仅当x¿13,y=12,z=1时,等号成立.故所求的最大值为9.答案：A9若5x1+6x2-7x3+4x4=1,则3x12+2x22+5x32+x42的最小值是()A.78215B.15782C.3D.253答案：B210设c1,c2,…,cn是a1,a2,…,an的某一排列(a1,a2,…,an均为正数),则a1c1+a2c2+…+ancn的最小值是()A.nB.1nC.√nD.2n解析：不妨设0≤a1≤a2≤…≤an,则1a1≥1a2≥…≥1an,1c1,1c2,…,1cn是1a1,1a2,…,1an的一个排列,再利用排序不等式的反序和≤乱序和求解.所以a1c1+a2c2+…+ancn≥a1a1+a2a2+…+anan=n,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.答案：A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11函数y¿(1+1sinα)(1+1cosα)(0<α<π2)的最小值是.解析：由柯西不等式,得y¿[12+(1√sinα)2][12+(1√cosα)2]≥(1×1+1√sinα·1√cosα)2¿(1+√2√sin2α)2≥(1+√2¿2=3+2√2,当且仅当1√cosα=1√sinα,即α=π4时,等号成立.答案：3+2√212如图,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,则阴影部分的矩形的面积之和空白部分的矩形的面积之和.解析：由题图可知,阴影部分的面积=a1b1+a2b2,而空白部分的面积=a1b2+a2b1,根据顺序和≥逆序和可知,答案为≥.3答案：≥13已知0b>0,则a+1(a-b)b的最小值为3.④a2+b2+c2≤ab+bc+ca.解析：①中,当a,b,c∈(0,1)时,logab+logbc+logca≥3也成立;②中,a+1a{≥2(a>0),≤-2(a<0)¿≠0),故②正确;③中的命题显然正确;④由排序不等式可知,应为a2+b2+c2≥ab+bc+ca.答案：②③15已知正实数x1,x2,…,xn满足x1+x2+…+xn=P,P为定值,则F¿x12x2+x22x3+…+xn-12xn+xn2x1的最小值为.解析：不妨设00.且0¿x12≤x22≤…≤xn2.1x2,1x3,…,1xn,1x1为序列{1xn}的一个排列,根据排序不等式,得F¿x12x2+x22x3+…+xn-12xn+xn2x1≥x12·1x1+x22·1x2+…+xn2·1xn=x1+x2+…+xn=P(定值),即F¿x12x2+x22x3+…+xn-12xn+xn2x1的最小值为P.答案：P三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)416(8分)设x1,x2,…,xn都是...
