压轴大题拉分练(01)(满分：24分时间：30分钟)1．(12分)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点分别为：F1(－2，0)，F2(2，0)，且双曲线C经过点P(4，2)．(1)求双曲线C的方程；(2)设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线x＝上，且OA·OB＝0.是否存在以点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．解：(1)点P(4，2)在双曲线C上．－＝1①，b2＝8－a2②②代入①去分母整理得：a4－68a2＋32×8＝0，解得a2＝4，b2＝4．∴所求双曲线C的方程为－＝1．(2)设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(，t)，其中x0＞2或x0＜－2．当y0≠t时，直线AB的方程为y－t＝(x－)，即(y0－t)x－(x0－)y＋tx0－y0＝0，若存在以点O为圆心的定圆与AB相切，则点O到直线AB的距离必为定值．设圆心O到直线AB的距离为d，则d＝，∵y0≠0，∴t＝－，又x－y＝4，∴d＝＝＝2，此时直线AB与圆x2＋y2＝4相切，当y0＝t时，x0＝－，代入双曲线C的方程并整理得t4－2t2－8＝0，解得t＝±2，此时直线AB：y＝±2，也与圆x2＋y2＝4相切．综上得存在定圆x2＋y2＝4与直线AB相切．2．(12分)已知函数f(x)＝alnx－2ax＋1．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)对任意的x≥1，不等式f(x)＋ex－1≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝，当a＞0时，令f′(x)＞0⇒0＜x＜，f′(x)＜0⇒x＞，所以此时f(x)在区间递增，递减；当a＜0时，令f′(x)＞0⇒x＞，f′(x)＜0⇒0＜x＜，所以此时f(x)在区间递增，递减．(2)令g(x)＝f(x)＋ex－1＝alnx－2ax＋1＋ex－1，x≥1，∴g′(x)＝－2a＋ex－1，令h(x)＝－2a＋ex－1，h′(x)＝，令φ(x)＝x2ex－1－a，显然φ(x)在x≥1时单调递增，∴φ(x)≥φ(1)＝1－a．当a≤1时，φ(x)≥φ(1)≥0，h′(x)≥0，h(x)在[1，＋∞)上递增，所以h(x)≥h(1)＝1－a≥0，则g′(x)≥0，∴g(x)在[1，＋∞)上递增，∴g(x)≥g(1)＝2－2a≥0，此时符合题意；当a＞1时，φ(1)＜0，此时在[1，＋∞)上存在x0，使φ(x)在(1，x0)上值为负，此时h′(x)＜0，h(x)在(1，x0)上递减，此时h(x)＜h(1)＝1－a＜0，∴g(x)在(1，x0)上递减，∴g(x)＜g(1)＝2－2a＜0，此时不符合题意；综上a≤1．
