命题角度8.1含绝对值不等式的图象与解法1.已知,记关于的不等式的解集为.(1)若,求实数的取值范围;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)若,则,分类讨论,若,则,∴,若,则,∴,若,则,无解;(2)当时,,所以恒成立,即,当时恒成立,所以.(2)由题意可知,当时,恒成立,∴恒成立,即,当时恒成立,∴.2.已知函数.(1)若的解集为,求实数,的值;(2)当且时,解关于的不等式.【答案】(1),.(2).3.设函数。(1)证明:;(2)若,求的取值范围。【答案】(1)证明见解析(2)的取值范围是【解析】试题分析:(1)由题意结合绝对值三角不等式的性质和均值不等式的性质即可证得;(2)由题意分类讨论可得:当时,;当时,;则的取值范围是.试题解析:(1)由,有,所以(2)当时,,由得当时,,由得综上,的取值范围是。4.已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|.(1)若关于x的不等式f(x)<a有解,求实数a的取值范围:(2)若关于x的不等式f(x)<a的解集为(b,),求a+b的值.【答案】(1)a>4(2)a+b=3.5【解析】试题分析:(Ⅰ)求出f(x)的最小值4,利用关于x的不等式f(x)<g(x)有解,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<a的解集为(b,)代入相应函数,求出a,b,即可求a+b的值.点睛:1.研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,将原函数转化为分段函数,然后利用数形结合解决问题,这是常用的思想方法.2.f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a.f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.5.已知函数.(1)解关于的不等式;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)试题解析:(1)可化为,∴,∴.∴不等式的解集为.(2)∵在上单调递増,又,,∴只需要,化简为,∴,解得.6.已知,其中.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)已知关于的不等式的解集为,求的值.【答案】(1)或.(2)【解析】试题分析:(Ⅰ)当时,根据零点分段法,去绝对值解不等式;(Ⅱ)首先设函数,根据零点分段法去绝对值,再解不等式的解集,最后对应端点求的值.试题解析:(Ⅰ)当时,当时,由得,解得;当时,无解;当时,由得,解得;所以的解集为或.7.已知不等式.(1)若,求不等式的解集;(2)若已知不等式的解集不是空集,求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)结合函数的解析式,由零点分段法进行分类讨论,即可得到不等式的解集;(2)化简函数的解析式,作出函数的图象,通过图象即可求出的取值范围.试题解析:(1)当时,不等式即为,若,则,,∴舍去;若,则,∴;若,则,∴.综上,不等式的解集为8.已知函数.(Ⅰ)写出函数的分段解析表达式,并作出的图象;(Ⅱ)求不等式的解集.【答案】(1)图像见解析(2)【解析】试题分析:(1)根据绝对值定义将函数化为分段函数形式,再作出图像(2)利用翻折作出图像,结合图像,求出在y=2上点的范围,即为不等式解集试题解析:解:(I)的图象如图所示方法二:由(I)可知所以9.已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若函数的图象在上与轴有3个不同的交点,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)本题可转化为含两个绝对值的不等式,分三种情况去绝对值即可;(2)本题转化为当有三个不同交点时,的范围,可作的图象,得的范围。(1)由,得,∴或或,解得,故不等式的解集为.(2),当时,,当且仅当,即时取等号,∴,当时,递减,由,得,又,结合的图像可得.10.已知函数.(1)若,解不等式;(2)当时,,求满足的的取值范围.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).(Ⅱ),当时,,等号当且仅当时成立,所以无解;综上,的取值范围是.