选修2－2综合测试时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算：＝()A．－1－iB．－1＋iC．1＋iD．1－i[答案]B[解析]＝＝＝＝－1＋i.2．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”，假设应为()A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除[答案]B[解析]“至少有一个”的否定为“一个也没有”．3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝，从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是()A．(k－1)2＋2k2B．(k＋1)2＋k2C．(k＋1)2D．(k＋1)[2(k＋1)2＋1][答案]B[解析]当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，∴从n＝k到n＝k＋1，左边应添加的式子为(k＋1)2＋k2.4．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为()[答案]B[解析]当x＝1时，y＝<0，排除A；当x＝0时，y不存在，排除D；当x从负方向无限趋近于0时，y趋近于－∞，排除C.故选B.5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9[答案]D[解析]由等差数列的性质知，a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5，故D成立．6．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1－e－x，则质点从x1＝0，沿x轴1运动到x2＝1处，力F(x)所做的功是()A．eB．C．2eD．[答案]B[解析]由W＝(1－e－x)dx＝1dx－e－xdx＝x|＋e－x|＝1＋－1＝.7．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)对应向量的模为，则的最大值是()A．B．C.D．[答案]C[解析]由|(x－2)＋yi|＝，得(x－2)2＋y2＝3，此方程表示如图所示的圆C，则的最大值为切线OP的斜率．由|CP|＝，|OC|＝2，得∠COP＝，∴切线OP的斜率为，故选C.8．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是()[答案]C[解析]本题考查导数的应用，函数的图象．由f(x)在x＝－2处取极小值知f′(－2)＝0且在－2的左侧f′(x)<0，而－2的右侧f′(x)>0，所以C项合适．函数、导数、不等式结合命题，对学生应用函数能力提出了较高要求．9.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n个图中有________个小正方形()A．28，B．14，C．28，D．12，[答案]A[解析]2根据规律知第6个图形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.第n个图形中有1＋2＋…＋(n＋1)＝.10.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是()A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝－xe－x[答案]D[解析]若f(x)＝sinx＋cosx，则f″(x)＝－sinx－cosx，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；若f(x)＝lnx－2x，则f″(x)＝－，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；若f(x)＝－x3＋2x－1，则f″(x)＝－6x，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；若f(x)＝－xe－x，则f″(x)＝2e－x－xe－x＝(2－x)e－x.在x∈(0，)上，恒有f″(x)>0，故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．(2014·北京理，9)复数()2＝________.[答案]－1[解析]复数＝＝＝i，故()2＝i2＝－1.12．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1能被14整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________．[答案]34·34k＋1＋52·52k＋1[解析]n＝k时，34k＋1＋52k＋1能被14整除，因此，我们需要将n＝k＋1时的式子构造为能利用n＝k的假设的形式.34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34·34k＋1＋52·52k＋1＋34·52k＋1－34·52k＋1＝34(34k＋1＋52k＋1)＋(52－34)52k＋1，便可得证．13．在△ABC中，D是BC的中点，则AD＝(AB＋AC)，将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：___________________________________________________________...
