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高中数学 3.1.3空间向量的数量积运算课时作业 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

高中数学 3.1.3空间向量的数量积运算课时作业 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题_第1页
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3.1.3空间向量的数量积运算课时目标1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途,会用它解决立体几何中的夹角及距离问题.1.空间向量的夹角定义已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角记法范围,想一想:〈a,b〉与〈b,a〉相等吗?〈a,b〉与〈a,-b〉呢?2.空间向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b=________交换律a·b=______分配律a·(b+c)=____________(3)数量积的性质两个向量数量积的性质①若a,b是非零向量,则a⊥b⇔__________.②若a与b同向,则a·b=________;若反向,则a·b=________.特别地:a·a=|a|2或|a|=.③若θ为a,b的夹角,则cosθ=______④|a·b|≤|a|·|b|.一、选择题1.设a、b、c是任意的非零向量,且它们相互不共线,下列命题:①(a·b)·c-(c·a)·b=0;②|a|-|b|<|a-b|;③(b·a)·c-(c·a)·b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有()A.①②B.②③C.③④D.②④2.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于()A.B.C.D.44.在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,则·CF等于()A.0B.C.-D.-5.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于()A.6B.6C.12D.14416.若向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R且λ、μ≠0),则()A.m∥nB.m⊥nC.m不平行于n,m也不垂直于nD.以上三种情况都有可能二、填空题7.已知a,b是空间两向量,若|a|=3,|b|=2,|a-b|=,则a与b的夹角为________.8.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为,则|a+b|=________.9.在△ABC中,有下列命题:①AB-AC=BC;②AB+BC+=0;③(AB+AC)·(AB-AC)=0,则△ABC为等腰三角形;④若AC·AB>0,则△ABC为锐角三角形.其中正确的是________.(填写正确的序号)三、解答题10.如图,已知在空间四边形OABC中,OB=OC,AB=AC.求证:OA⊥BC.11.在正四面体ABCD中,棱长为a,M、N分别是棱AB、CD上的点,且|MB|=2|AM|,|CN|=|ND|,求|MN|.能力提升12.平面式O,A.B三点不共线,设OA=a,=b,则△OAB的面积等于()A.B.2C.D.13.如图所示,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且AB=7,AC=BD=24,线段BD与α所成的角为30°,求CD的长.1.空间向量数量积直接根据定义计算.2.利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题:(1)利用a⊥b⇔a·b=0证线线垂直(a,b为非零向量).(2)利用a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉,cosθ=,求两直线的夹角.(3)利用|a|2=a·a,求解有关线段的长度问题.3.1.3空间向量的数量积运算知识梳理1.〈a,b〉[0,π]2.(2)λ(a·b)b·aa·b+a·c(3)①a·b=0②|a|·|b|-|a|·|b|③作业设计1.D[①错;②正确,可以利用三角形法则作出a-b,三角形的两边之差小于第三边;③错,当b·a=c·b=0时,(b·a)·c-(c·a)·b与c垂直;④正确,直接利用数量积的运算律.]2.A[a·b=|a||b|cos〈a,b〉=|a||b|⇔cos〈a,b〉=1⇔〈a,b〉=0,当a与b反向时,不能成立.]3.C[|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+6·cos60°+9=13.∴|a+3b|=.]34.D[AE·CF=(AB+AC)·=AB·AD+AC·AD-AB·AC-|AC|2=cos60°+cos60°-cos60°-=-.]5.C[ PC=PA+AB+BC,∴|PC|2=(PA+AB+BC)2=PA2+AB2+BC2+2PA·AB+2PA·BC+2AB·BC=108+2×6×6×=144,∴|PC|=12.]6.B[由题意m⊥a,m⊥b,则有m·a=0,m·b=0,m·n=m(λa+μb)=λm·a+μm·b=0,∴m⊥n.]7.60°解析由|a-b|=,得(a-b)2=7,即|a|2-2a·b+|b|2=7,∴2a·b=6,∴|a||b|cos〈a,b〉=3,∴cos〈a,b〉=,〈a,b〉=60°.即a与b的夹角为60°.8.解析|a+b|===.9...

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