第8课时诱导公式(五)、(六)对应学生用书P17知识点一求值问题1．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是()A．B．C．－D．－答案D解析sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－．2．若sin(π＋α)＝，且α是第三象限角，则＝()A．1B．7C．－7D．－1答案B解析由sin(π＋α)＝，则sinα＝－．又α是第三象限角，所以cosα＝－，所以＝＝＝7，故选B．3．已知sinα－＝，则cos＋α的值等于()A．B．－C．D．－答案D解析∵＋α－α－＝，∴cos＋α＝cos＋α－＝－sinα－＝－．故选D．4．已知cos＋α＝2sinα－，则＝________．答案解析∵cos＋α＝2sinα－，∴sinα＝2cosα．原式＝＝＝．5．已知cos＋α＝，且－π<α<－，则cos－α＝________．答案－解析因为－π<α<－，所以－<＋α<－．又cos＋α＝>0，所以sin＋α＝－＝－，由－α＋＋α＝，得cos－α＝cos＝sin＋α＝－．6．设f(α)＝，求f－的值．解∵f(α)＝＝＝＝，∴f－＝＝＝＝．知识点二诱导公式的综合应用7．已知角α的终边经过点P(－4，3)，求的值．解∵角α的终边经过点P(－4，3)，∴tanα＝－，∴＝＝tanα＝－．8．已知sin－－α·cos－－α＝，且<α<，求sinα与cosα的值．解sin－－α＝－cosα，cos－－α＝cos2π＋＋α＝－sinα．∴sinα·cosα＝，即2sinα·cosα＝．①又∵sin2α＋cos2α＝1，②由①＋②得(sinα＋cosα)2＝，由②－①得(sinα－cosα)2＝．又∵α∈，，∴sinα>cosα>0，即sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0，∴sinα＋cosα＝，③sinα－cosα＝，④由③＋④得sinα＝，由③－④得cosα＝．9．已知f(α)＝．(1)化简f(α)；(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tanA－sinA的值．解(1)f(α)＝＝cosα．(2)由(1)知，cosA＝，因为A是△ABC的内角，所以0
1，则sinθ－sin(π－θ)＝()A．－B．－C．－D．答案A解析由sinθ－cosθ>1，可知cosθ<0．由cosθ－＝，得sinθ＝，∴cosθ＝－，∴sinθ－sin(π－θ)＝cosθsinθ＝－，故选A．5．已知f(x)＝sinx，下列式子成立的是()A．f(x＋π)＝sinxB．f(2π－x)＝sinxC．fx－＝－cosxD．f(π－x)＝－f(x)答案C解析f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sinx；f(2π－x)＝sin(2π－x)＝sin(－x)＝－sinx；fx－＝sinx－＝－sin－x＝－cosx；f(π－x)＝sin(π－x)＝sinx＝f(x)．二、填空题6．已知函数f(x)＝cos，若cosθ＝，θ∈，则f＝________．答案－解析f＝cos＝cosθ－＝cos＝sinθ．由已知可得θ为第四象限角，所以sinθ<0，故sinθ＝－＝－，f＝sinθ＝×＝－．7．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是________．答案解析由条件知解得tanα＝3，又α为锐角，tanα＝＝＝3．解得sinα＝．8．在△ABC中，sin＝sin，则△ABC的形状是________．答案等腰三角形解析∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B．又∵sin＝sin，∴sin＝sin．∴sin＝sin．∴cosC＝cosB．又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B．∴△ABC为等腰三角形．三、解答题9．已知cos(15°＋α)＝，α为锐角，求的值．解原式＝＝＝－＋．因为α为锐角，所以15°<α＋15°<105°．又cos(15°＋α)＝，所以sin(15°＋α)＝，故原式＝－＋＝．10．化简：sinπ－α＋cosπ－α(k∈Z)．解原式＝sinkπ－＋α＋coskπ＋－α．当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则原式＝sin(2n＋1)π－＋α＋cos(2n＋1)π＋－α＝sin＋cos＝sin＋α＋－cos－α＝sin＋α－cos－＋α＝sin＋α－sin＋α＝0；当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则原式＝sin＋cos＝－sin＋α＋cos－α＝－sin＋α＋cos－＋α＝－sin＋α＋sin＋α＝0．综上所述，原式＝0．
