专题二数列必考点等差数列、等比数列及数列求和类型一学会踩点[例1](本题满分12分)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)，满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)因为bn≠0，所以由anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，得－＋2＝0，(2分)即－＝2，(3分)所以cn＋1－cn＝2，所以{cn}是以c1＝＝1为首项，2为公差的等差数列，(5分)所以cn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(6分)(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}的前n项和Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1，(8分)3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，(10分)所以Sn＝(n－1)3n＋1.(12分)评分细则：得分点及踩点说明(1)第(1)问，利用条件②合理转化得2分．(2)写成等差数列定义形式得1分．(3)得出其首项、公差进而写出通项得3分．(4)第(2)问，由bn＝3n＋1，cn＝2n－1，得到{an}的通项得2分．(5)在等式两端同乘以3给2分．(6)错位相减给1分．(7)错位相减后求和正确得2分．(8)最后结果整理得1分．(2016·高考全国甲卷)等差数列(an)中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意有解得所以{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知，bn＝.当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；当n＝4,5时，2≤<3，bn＝2；当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；当n＝9,10时，4≤＜5，bn＝4.所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.类型二学会审题[例2](2016·高考全国丙卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ.审题路线图[规范解答](1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，故a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝n－1.(2)由(1)得Sn＝1－n.由S5＝得1－5＝，即5＝.解得λ＝－1.(2016·高考全国乙卷)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．解：(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－.类型三学会规范[例3](本题满分12分)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.[考生不规范示例]解：(1)令n＝1，得＝，所以a1a2＝3，a1(a1＋d)＝3，①令n＝2得＋＝，所以a2a3＝15，(a1＋d)(a2＋d)＝15②由①②得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.(2)bn＝2n·22n－1所以Tn＝1×4＋2×42＋…＋n·4n③4Tn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1④③－④得：－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1所以Tn＝＋＝.[规范解答](1)设数列{an}的公差为d.令n＝1，得＝，所以a1a2＝3.①(2分)令n＝2，得＋＝，所以a2a3＝15.②(4分)∴由①②得a3＝5a1即a1＋2d＝5a1，∴d＝2a1，∴a2＝3a1∴a＝1，(a1＞0)，∴a1＝1，d＝2.∴an＝2n－1，经检验，符合题意．(6分)(2)由(1)知bn＝2n·22n－1＝n·4n，所以Tn＝1·41＋2·42＋…＋n·4n，所以4Tn＝1·42＋2·43＋…＋n·4n＋1，两式相减，得－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1(10分)＝－n·4n＋1＝×4n＋1－.所以Tn＝×4n＋1＋＝.(12分)[终极提升]——登高博见(1)已知an与an＋1的关系式求通项an时，常有以下类型：①形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累加法；②形如an＋1＝an·f(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累乘法；③形如an＋1＝pan＋q(p，q均为常数且p≠1，q≠0)解决方法是将其构造成一个新的等比数列；④形如an＋1＝...
