椭圆方程及性质的应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1个B.1个或2个C.2个D.0个【解析】选C.因为直线过定点(3,-1)且+<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.2.椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是()A.B.C.1D.【解析】选B.椭圆的右焦点为F(1,0),由点到直线的距离公式得d==.3.直线y=x+m与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是()A.(-5,5)B.(-12,12)C.(-13,13)D.(-15,15)【解析】选C.联立直线与椭圆方程,由判别式Δ>0,可解得-133时,焦点在y轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan60°=,即≥,得m≥9,故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).7.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为()A.B.C.D.【解析】选B.由椭圆方程知c==1,2所以F1(-1,0),F2(1,0).因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2,则可设A(1,y0),代入椭圆方程可得=,所以y0=±.设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),所以·=y1y0.因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,·的最大值为.8.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,直线l:x=2,点A∈l,线段AF交椭圆C于点B,若=3,则||=()A.B.2C.D.3【解析】选A.设点A(2,n),B(x0,y0).由椭圆C:+y2=1知a2=2,b2=1,所以c2=1,即c=1,所以右焦点F(1,0).由=3得(1,n)=3(x0-1,y0).所以1=3(x0-1)且n=3y0.所以x0=,y0=n.将x0,y0代入+y2=1,得×+=1.解得n2=1,3所以||===.二、填空题(每小题5分,共10分)9.若直线y=2x+b与椭圆+y2=1无公共点,则b的取值范围为________.【解析】由得+(2x+b)2=1.整理得17x2+16bx+4b2-4=0.Δ=(16b)2-4×17×(4b2-4)<0,解得b>或b<-.答案:(-∞,-)∪(,+∞)10.(2017·邯郸高二检测)过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为________.【解析】由已知可得直线方程为y=2x-2,联立方程得交点坐标,不妨令A(0,-2),B,所以S△AOB=·|OF|·|yA-yB|=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)11.设直线y=x+b与椭圆+y2=1相交于A,B两个不同的点.(1)求实数b的取值范围.(2)当b=1时,求|AB|.【解析】(1)将y=x+b代入+y2=1,消去y,整理得3x2+4bx+2b2-2=0.①4因为直线y=x+b与椭圆+y2=1相交于A,B两个不同的点,所以Δ=16b2-12(2b2-2)=24-8b2>0,解得-1时,设切线l的方程为y=k(x-m).由得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.由l与圆x2+y2=1相切,得=1,即m2k2=k2+1.所以|AB|====.当m=±1时,|AB|=,所以|AB|=,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞).因为|AB|==≤2,且当m=±时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.7
