第71讲两个计数原理与排列、组合的基本问题1．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(C)A．8种B．24种C．48种D．120种2和4排在个位时，共有A＝2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有A＝4×3×2＝24种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有2×24＝48(个)．2．甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(D)A．150B．180C．300D．345分两类：(1)甲组中选出一名女生有C·C·C＝225种选法；(2)乙组中选出一名女生有C·C·C＝120种选法．故共有345种选法．3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(A)A．12种B．10种C．9种D．8种分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另两名到乙地，共有C＝6(种)选派方法．由分步计数原理不同的选派方案共有2×6＝12(种)．4．(2019·东北四市模拟)甲、乙两人要在一排8个空座上就座，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为(C)A．10B．16C．20D．24(方法1)当甲在乙的左侧时有如下情况：①甲在第2个座位，则乙在第4,5,6,7个座位坐都可以，此时有4种情况；②甲在第3个座位，则乙在第5,6,7个座位坐都可以，此时有3种情况；③甲在第4个座位，则乙在第6,7个座位坐都可以，此时有2种情况；④甲在第5个座位，则乙在第7个座位坐，此时有1种情况．故共有10种情况．同理，当甲在乙的右侧时，也有10种情况．因此，一共有20种情况．(方法2)因甲乙不相邻，故采用插空法．除甲、乙外共6个空座，所以把甲、乙插入5个空中，共有A＝20种方法．5．用五种不同的颜色给如图所示的四个区域涂色，如果每个区域涂一种颜色，相邻区域不能涂同色，那么涂色的方法共有320种．按1,2,3,4区域顺序着色，分别有C，C，C，C种方法，由分步计数原理，共有C·C·C·C＝320种方法．6．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__16__种．(用数字填写答案)(方法1)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种．故共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种)．(方法2)间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种)．7．4位学生与2位教师并坐合影留念，下列情形下，各有多少种不同的坐法？(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．(1)中间有两个位置，故有AA＝48(种)；(2)用插空法，首先排四位学生有A种方法，再将两名教师作为一个元素插入三个空格有A种方法，再将两个教师交换位置有A种方法，故共有A·A·A＝144(种)；(3)用插空法，首先排四位学生有A，然后将两位教师插入除两端外的三个空格有AA＝144(种)．8．(2017·豫南九校2月联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村庄进行义务巡诊，其中每个分队必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有(B)A．72种B．36种C．24种D．18种A(CC＋CC)＝36种．9．由数字1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数中，恰好只有两个偶数相邻的排列数为2880个．分如下步骤：(1)首先从三个偶数中选出两个并进行排列有CA；(2)然后将四个奇数排列有A；(3)再用插空法，将选出的两个偶数看成一个整体与另一偶数插入五个空格有A.由乘法原理有CAAA＝2880.10．用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的：(1)四位数；(2)能被5整除的四位数；(3)千位上数字比百位上数字大的四位数．(1)用剔除法，A－A＝10×9×8×7－9×8×7＝4536(个)．(2)①个位数字为0有A个；②个位数字为5，千位数字不为0有AA个，故符合题意的四位数有A＋AA＝952(个)．(3)先从0,1，…，9这10个数字中取出两个数字，排在千位和百位上有C种排法，再从余下的8个数中取出2个排在十位和个位上，有A种方法，故由乘法原理，满足条件的四位数有CA＝2520(个)．
