第3课时余弦定理(1)知识点一已知两边及其夹角解三角形1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于()A．B．C．3D．4答案A解析由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×＝3，∴c＝．2．在△ABC中，若a＝8，B＝60°，c＝4(＋1)，则b＝________．答案4解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝82＋[4(＋1)]2－2×8×4(＋1)×cos60°＝64＋16(4＋2)－64(＋1)×＝96，∴b＝4．知识点二已知两边及一边对角解三角形3．在△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则边长b为()A．5B．8C．5或－8D．－5或8答案B解析由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴49＝9＋b2－3b⇒(b－8)(b＋5)＝0． b＞0，∴b＝8．故选B．4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cosA＝，且b＜c，则b＝()A．B．2C．2D．3答案B解析由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4． b＜c，∴b＝2．故选B．知识点三已知三边解三角形5．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于()A．30°B．45°C．60°D．120°答案C解析由余弦定理，得cosB＝＝＝，∴B＝60°．6．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC．解由题意可知，a＞c＞b，∴A为最大角，cosA＝＝－，又 A为△ABC的内角，∴A＝．1由正弦定理，得＝，即＝，∴sinC＝．知识点四余弦定理的推论7．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是()A．B．C．D．答案C解析 a是最大的边，∴A＞． a2＜b2＋c2，∴cosA＝＞0．∴A＜，故＜A＜．故选C．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为()A．B．C．或D．或答案D解析依题意，得·tanB＝，所以由余弦定理，得cosBtanB＝，∴sinB＝，∴B＝或B＝．故选D．易错点一忽视三角形中边的隐含关系9．在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，求最大边c的取值范围．易错分析易忽略两边之和大于第三边即c＜3，错解为c∈(，＋∞)．解 在钝角三角形ABC中，c为最大边，∴cosC＜0，即a2＋b2－c2＜0．∴c2＞a2＋b2＝5，∴c＞．又c＜b＋a＝3，∴＜c＜3，即c的取值范围是(，3)．易错点二运算时定理选错10．如图，在梯形ABCD中，CD＝2，AC＝，∠BAD＝60°，求梯形的高．易错分析本题易选用正弦定理致计算冗杂出错，审清题干条件通过余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用．解由∠BAD＝60°，得∠ADC＝120°，在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD×CD×cos∠ADC，2即19＝AD2＋4－2AD×2×，解得AD＝3或AD＝－5(舍去)．在△ADE中，DE＝ADsin60°＝．一、选择题1．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5答案D解析 23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，∴cos2A＝，∴cosA＝±． △ABC为锐角三角形，∴cosA＝，又 a＝7，c＝6，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即49＝b2＋36－b．∴b＝5或b＝－(舍去)．∴b＝5．故选D．2．在△ABC中，若AB＝－1，BC＝＋1，AC＝，则B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°答案C解析 cosB＝＝＝，∴B＝60°．3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝()A．B．C．D．答案C解析由sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入整理，得＝⇒c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，故由余弦定理，得cosB＝，所以B＝．4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝()A．B．C．D．答案B解析如图所示，在△ACD中，设CD＝a，由CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，得a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，解得cos∠DAC＝．故选B．5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝4，b＝5，c＝6，则＝()A．B．C．1D．2答案C解析由余弦定理，得cosA＝＝＝，3所以＝＝＝＝1．故选C．二、填空题6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋accosB＋abcosC的值是________．答案解析 cosA＝，∴bccosA＝(b2＋c2－a2)．同理，accosB＝(a2＋c2－b2)，abcosC＝(a2＋b2－c2)．∴bccosA＋accosB＋abcosC＝(a2＋b2＋c2)＝...
