§6.2等差数列1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的等于同一个，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母d表示，即＝d(n∈N＋，且n≥2)或＝d(n∈N＋)．2．等差中项三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的____________．3．等差数列的通项公式若{an}是等差数列，则其通项公式an＝_________.①{an}成等差数列⇔an＝pn＋q，其中p＝_________，q＝_________，点(n，an)是直线_________上一群孤立的点．②单调性：d＞0时，{an}为_________数列；d＜0时，{an}为_________数列；d＝0时，{an}为_________．4．等差数列的前n项和公式(1)等差数列前n项和公式Sn＝_________＝_________.其推导方法是_________．(2){an}成等差数列，求Sn的最值：若a1＞0，d＜0，且满足时，Sn最大；若a1＜0，d＞0，且满足时，Sn最小；或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．5．等差数列的判定方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．6．等差数列的性质(1)am－an＝d，即d＝.(2)在等差数列中，若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am＋；若2m＝p＋q，则有am＝ap＋aq(p，q，m，n∈N*)．但要注意：在等差数列an＝kn＋b中，若m＝p＋q，易证得am＝ap＋aq成立的充要条件是b＝0，故对一般等差数列而言，若m＝p＋q，则am＝ap＋aq并不一定成立．(3)若{an}，{bn}均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列{pan}，{an＋q}，{an±bn}也为数列，且公差分别为，，.(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an＋m，an＋2m，…为等差数列，公差为md.(5)等差数列的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…为等差数列，公差为n2d.(6)若等差数列的项数为2n，则有S偶－S奇＝nd，＝.自查自纠1．差常数公差an－an－1an＋1－an2．等差中项3．a1＋(n－1)d①da1－dy＝dx＋(a1－d)②单调递增单调递减常数列4．(1)na1＋倒序相加法(2)≥0≤0≤0≥06．(1)(m－n)(2)an2(3)等差pd1d1d1±d2()在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1D．6解：由等差数列的性质知a2，a4，a6成等差数列，所以a2＋a6＝2a4，所以a6＝2a4－a2＝0.故选B.已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则其前10项的和为()A．100B．210C．380D．400解：在等差数列{an}中， a2＝7，a4＝15，∴d＝＝4，a1＝a2－d＝3，∴S10＝10×3＋×4＝210.故选B.()设{an}是等差数列，下列结论中正确的是()A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0C．若0
D．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0解：选项A中，当等差数列的前三项是4，1，－2时，结论不成立；选项B中，当等差数列的前三项是4，－1，－6时，结论不成立；选项C中，设公差为d(d≠0)，则a>a－d2＝(a2－d)(a2＋d)＝a1·a3， 0，结论成立；选项D中，公差为d，(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0.故选C.()在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.解： {an}是等差数列，∴a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，得a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.故填10.()设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.解：当n＝1时，S1＝a1＝－1，∴＝－1.由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1·Sn，两边同时除以－Sn＋1·Sn，得－＝－1，∴数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴＝－1－(n－1)＝－n，Sn＝－.故填－.类型一等差数列的判定与证明设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的正整数n，都有Sn＝，证明{an}是等差数列．证明：当n≥2时，由题设知an＝Sn－Sn－1＝－＝[a1＋nan－(n－1)an－1]，同理an＋1＝[a1＋(n＋1)an＋1－nan]．从而an＋1－an＝[(n＋1)an＋1－2nan＋(n－1)an－1]．整理得(n－1)an＋1＋(n－1)an－1＝2(n－1)an， n≥2，∴an＋1＋an－1＝2an.所以{an}是等差数列．【点拨】判定数列是等差数列的方法可参看本...
