母题二十应用导数研究函数的性质【母题原题1】【2018天津，文20】设函数，其中，且是公差为的等差数列．（I）若求曲线在点处的切线方程；（II）若，求的极值；（III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求的取值范围．【考点分析】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分14分．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)极大值为；极小值为；(Ⅲ)【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得，结合，究的性质可得的取值范围是．试题解析：（Ⅰ）由已知，可得，故，因此，又因为曲线在点处的切线方程为，故所求切线方程为．（Ⅱ）由已知可得．故．令，解得，或．当变化时，，的变化如下表：+0−0+↗极大值↘极小值↗函数的极大值为；函数的极小值为．（Ⅲ）曲线与直线有三个互异的公共点等价于关于的方程有三个互异的实数解，令，可得．设函数，则曲线与直线有三个互异的公共点等价于函数有三个零点．．的极小值．若，由的单调性可知函数至多有两个零点，不合题意．若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意．的取值范围是．【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．【母题原题2】【2017天津，文19】设，．已知函数，．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围．【答案】（Ⅰ）递增区间为，，递减区间为．（2）（ⅰ）在处的导数等于0．（ⅱ）的取值范围是．试题解析：（I）由，可得，令，解得，或．由，得．当变化时，，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为．（II）（i）因为，由题意知，由（I）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立．【考点】1．导数的几何意义；2．导数求函数的单调区间；3．导数的综合应用．【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能．【母题原题3】【2016天津，文20】设函数，，其中(I)求的单调区间；(II)若存在极值点，且，其中，求证：；（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为．②当时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究①当时，，②当时，，③当时，．当变化时，，的变化情况如下表：＋0－0＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，进而．又，且，所以．（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，所以在区间上的取值范围为，因此．．综上所述，当时，在区间上的最大值不小于．证法2：欲证在区间上的最大值不小于，只需证在区间上存在，使得③若时，，成立；④当时，，成立．考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；...
