章末综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设xy>0，则的最小值为()A．－9B．9C．10D．0【解析】≥＝9.【答案】B2．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为()A.B.C.D.【解析】 4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，即4(16－e2)≥(8－e)2，64－4e2≥64－16e＋e2，即5e2－16e≤0，∴e(5e－16)≤0，故0≤e≤.【答案】C3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5元、3元、2元的奖品，则至少要花()A．300元B．360元C．320元D.340元【解析】由排序原理，反序和最小，∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元).【答案】C4．已知a，b，c为非零实数，则(a2＋b2＋c2)＋＋的最小值为()A．7B．9C．12D.18【解析】由(a2＋b2＋c2)≥2＝9，所以所求最小值为9.【答案】B5．设a，b，c均小于0，且a2＋b2＋c2＝3，则ab＋bc＋ca的最大值为()【导学号：32750061】A．0B．1C．3D.【解析】由排序不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，所以ab＋bc＋ca≤3.【答案】C6．若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是()A．21B.C．16D.【解析】 1＝x＋2y＋4z≤·，∴x2＋y2＋z2≥，即x2＋y2＋z2的最小值为.【答案】B7．函数f(x)＝＋cosx，则f(x)的最大值是()A.B.C．1D.2【解析】f(x)＝·＋cosx.又(·＋cosx)2≤(2＋1)(sin2x＋cos2x)＝3，∴f(x)的最大值为.【答案】A8．已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，若y1＝，y2＝，则y1y2与x1x2的关系为()A．y1y2x1x2D.不能确定【解析】 a，b，x1，x2为互不相等的正数，∴y1y2＝·＝＝>＝＝x1x2.【答案】C9．已知半圆的直径AB＝2R，P是弧AB上一点，则2|PA|＋3|PB|的最大值是()A.RB.RC．2RD.4R【解析】由2|PA|＋3|PB|≤＝＝·2R.【答案】C10．设a1，a2，…，an为正实数，P＝，Q＝，则P，Q间的大小关系为()A．P>QB．P≥QC．PB．≥C．0，于是≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2，由排序不等式得，＋＋≥·a2a3＋·a3a1＋·a1a2＝a3＋a1＋a2，即＋＋≥a1＋a2＋a3.【答案】B12．设c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的某一排列(a1，a2，…，an均为正数)，则＋＋…＋的最小值是()A．nB.C.D.2n【解析】不妨设0≤a1≤a2≤…≤an，则≥≥…≥，，，…，是，，…，的一个排列．再利用排序不等式的反序和≤乱序和求解，所以＋＋…＋≥＋＋…＋＝n，当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立．故选A.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设x，y，z∈R，且满足x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z＝________.【导学号：32750062】【解析】由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此x＋2y＋3z≤.因为x＋2y＋3z＝，所以x＝＝，解得x＝，y＝，z＝，于是x＋y＋z＝.【答案】14．已知实数m，n＞0，则＋________.(填“≥”“＞”“≤”或“＜”)【解析】因为m，n＞0，利用柯西不等式，得(m＋n)≥(a＋b)2，所以＋≥.【答案】≥15．函数y＝的最小值是________．【解析】由柯西不等式，得y＝≥＝≥(1＋)2＝3＋2.当且仅当＝，即α＝时等号成立．【答案】3＋216.如图1所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．图1【解析】由题图可知，阴影面积＝a1b1＋a2b2，而空白面积＝a1b2＋a2b1，根据顺序和≥逆序和可知答案为≥.【答案】≥三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设x2＋2y2＝1，求u(x，y)＝x＋2y的最值．【解】由柯西不等式，有|u(x，y)|＝|1·x＋·y|≤·＝，得umax＝，umin＝－.分别在，时取得最大值和最小值．18．(本小题满分12分)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.求证：＋＋≥.【证明...
