课时作业21复数代数形式的加、减运算及其几何意义时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(A)A．－1＋iB．1－iC．iD．－i解析：原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.2．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(B)A．1＋iB．1＋3iC．－1－iD．－1－3i解析：z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.3．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(C)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i，故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限．4．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(D)A．1＋iB．2＋iC．3D．－2－i解析：由得∴a＋bi＝－2－i.5．如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是(A)A．1B.C．2D.解析：设复数－2i,2i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋2i|＋|z－2i|＝4，|Z1Z2|＝4，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值．因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，|Z0Z3|＝1.故选A.6．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，则|BD|等于(B)A．5B.C.D.解析：如图，设D(x，y)，F为▱ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，所以即1所以点D对应的复数为z＝3＋3i，所以BD＝OD－OB＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)，所以|BD|＝.7．复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为(D)A．5B.C．6D.解析：|z1－z2|＝|(cosθ－sinθ)＋2i|＝＝＝≤.8．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(A)A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．二、填空题9．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝4＋i.解析：两式相加得2z1＝8＋2i，∴z1＝4＋i.10．已知z是复数，|z|＝3且z＋3i是纯虚数，则z＝3i.解析：设z＝a＋bi，则a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i是纯虚数，∴a＝0，b＋3≠0，又∵|z|＝3，∴b＝3，∴z＝3i.11．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是＋i.解析：设这个复数为x＋yi(x，y∈R)，∴x＋yi＋＝5＋i，∴∴∴x＋yi＝＋i.三、解答题12．计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；(2)＋(2－i)－；(3)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.解：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.(2)＋(2－i)－＝＋i＋2－i－＋i＝＋i＝1＋i.(3)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.13．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．解：方法1：设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．∴AC中点为，BD中点为.∵平行四边形对角线互相平分，∴∴即点D对应的复数为3＋5i.方法2：设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．则AD对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，又BC对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，2由于AD＝BC.∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i，∴∴即点D对应的复数为3＋5i.——能力提升类——14．满足条件|z|＝1及＝的复数z的集合是(C)A.B.C.D.解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，依题意得解得所以z＝±i.15．已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设AB对应的复数是z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．解：(1)∵点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos2θ)．∴AB＝(－cos2θ，cos2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)．∴AB对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，∴sinθ＝±.又∵θ∈(0，π)，∴sinθ＝，∴θ＝或.3
