大题规范练(四)“17题～19题”＋“二选一”46分练(时间：45分钟分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知等比数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，且S3＝42,16a2·a6＝a3·a7.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜.【导学号：04024227】解：(1)设数列{an}的公比为q.由16a2·a6＝a3·a7，得16a＝a，所以q2＝16.因为数列{an}各项都为正数，所以q＝4，所以S3＝a1(1＋q＋q2)＝21a1，又S3＝42，所以a1＝2，所以数列{an}的通项公式是an＝2×4n－1＝22n－1.(2)证明：由(1)得bn＝＝＝，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝，因为＞0，所以Tn＝－＜.又Tn＋1－Tn＝－＝－＞0，所以Tn≥T1＝.综上所述：≤Tn<.18．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有500名男生，400名女生，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样的方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1男生等级优秀合格尚待改进频数15x5表2女生等级优秀合格尚待改进频数153y(1)从表2的非优秀学生中随机选取2名进行交谈，求所选2名学生中恰有1名的测评等级为合格的概率；(2)由表中统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果是否优秀与性别有关”．男生女生总计优秀非优秀总计【导学号：04024228】解：(1)设从高一年级男生中抽出m名，则＝，得m＝25，所以x＝25－20＝5，y＝20－18＝2.表2中非优秀学生共有5名，记测评等级为合格的3名学生分别为a，b，c，记尚待改进的2名学生分别为A，B，则从这5名学生中任选2名的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(b，c)，(A，B)，(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共10种．设事件C表示“从表2的非优秀学生中随机选取2名学生，恰有1名的测评等级为合格”，则C包含的结果为(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种，所以P(C)＝＝.(2)2×2列联表如下：男生女生总计优秀151530非优秀10515总计252045则k2＝＝1.125＜2.706，所以没有90%的把握认为“测评结果是否优秀与性别有关”．19．如图1所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，∠BAD＝60°，AB＝BD，BC＝CD.图1(1)求证：平面ACC1A1⊥平面A1BD；(2)若BC⊥CD，AB＝AA1＝2，求三棱锥B1A1BD的体积.【导学号：04024229】解：(1)证明：因为AB＝BD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形，所以AB＝AD.又因为CB＝CD，AC为公共边，所以△ABC≌△ADC，所以∠CAB＝∠CAD，所以AC⊥BD.因为四棱柱ABCDA1B1C1D1是直四棱柱，所以AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥BD.因为AC∩AA1＝A，所以BD⊥平面ACC1A1.因为BD⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面ACC1A1.(2)连接AB1(图略)，因为AA1∥BB1，所以VB1A1BD＝VA1BB1D＝VABB1D.由(1)知AC⊥BD.因为四棱柱ABCDA1B1C1D1是直四棱柱，所以BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥AC.因为BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D.记AC∩BD＝O，所以VABB1D＝S△BB1D·AO＝××＝，所以三棱锥B1A1BD的体积为.(请在第22、23题中选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分)22．【选修4－4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.【导学号：04024230】解：(1)由圆C的参数方程(φ为参数)可知而cos2φ＋sin2φ＝1，所以消去参数化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ.(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，由解得设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，由解得所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2.23．【选修4－5：不等式选讲】设函数f(x)＝|3x－1|＋ax＋3.(1)若a＝1，解不等式f(x)≤4；(2)若函数f(x)有最小值，求a的取值范围.【导学号：04024231】解：(1)当a＝1时，f(x)＝|3x－1|＋x＋3.当x≥时，由f(x)≤4，得3x－1＋x＋3≤4，解得≤x≤；当x<时，由f(x)≤4，得－3x＋1＋x＋3≤4，解得0≤x＜.综上所述，原不等式的解集为.(2)f(x)＝所以函数f(x)有最小值的充要条件为得－3≤a≤3.所以a的取值范围是[－3,3]．
