2.3.1-3.2空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理[A.基础达标]1．若向量MA，MB，MC的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB，MC成为空间一个基底的关系是()A.OM＝OA＋OB＋OCB.MA＝MB＋MCC.OM＝OA＋OB＋OCD.MA＝2MB－MC解析：选C.当OM＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)时，M、A、B、C四点共面，排除A；当MA＝xMB＋yMC时，M、A、B、C四点共面，排除B和D，故选C.2．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，点M，N是平面A1B1C1D1内任意两个不重合的点，MN＝xa＋yb＋zc(x，y，z∈R)，那么()A．x，y，z都不等于0B．x，y，z中最多有一个值为0C．x，y，z中z必等于0D．x，y，z不可能有两个等于0解析：选C.因为MN在平面A1B1C1D1内，所以z必为0.3.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则向量OD可用a，b，c表示为()A．a－b＋2cB．a－b－2cC．－a＋b＋cD.a－b＋c解析：选D.OD＝OC＋CD＝OC＋BA＝OC＋(OA－OB)＝a－b＋c.4．已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底i，j，k下的坐标为()A．(12，14，10)B．(10，12，14)C．(14，10，12)D．(4，2，3)解析：选A.因为8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)，所以点A在基底i，j，k下的坐标为(12，14，10)．5．已知e1，e2，e3为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ分别为()A.，－1，－B．1，2，3C．1，1，1D．1，－1，1解析：选A.因为d＝αa＋βb＋γc＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3＝e1＋2e2＋3e3.所以解得6.已知在如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以AB，AD，AA1为基底，则向量AE的坐标为________，向量AF的坐标为________，向量AC1的坐标为________．解析：AE＝AD1＋D1E＝AD＋AA1＋AB＝AB＋AD＋AA1；AF＝AB＋AA1＋AD＝AB＋AD＋AA1；AC1＝AB＋AA1＋AD＝AB＋AD＋AA1，故AE、AF、AC1在基底AB，AD，AA1下的坐标分别为(，1，1)，(1，，1)，(1，1，1)．答案：(，1，1)(1，，1)(1，1，1)7.如图所示，点M为OA的中点，以OA，OC，OD为基底的向量DM＝xOA＋yOC＋zOD，则(x，y，z)＝________．解析：因为DM＝OM－OD＝OA－OD，又DM＝xOA＋yOC＋zOD，所以x＝，y＝0，z＝－1，即(x，y，z)＝(，0，－1)．答案：(，0，－1)8．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为________．1解析：CA＝OA－OC，CB＝OB－OC，因为G1是△ABC的重心，所以CG1＝(CA＋CB)＝(OA＋OB－2OC)，OG1＝OC＋CG1＝OC＋(OA＋OB－2OC)＝(OA＋OB＋OC)，由于OG＝3GG1，所以OG＝OG1＝(OA＋OB＋OC)，又OG＝xOA＋yOB＋zOC，所以(x，y，z)＝(，，)．答案：(，，)9.如图，已知正方体ABCDA′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，分别取向量AB，AD，AA′为基底，若(1)BD′＝xAD＋yAB＋zAA′；(2)AE＝xAD＋yAB＋zAA′，试确定x，y，z的值．解：(1)因为BD′＝BD＋DD′＝BA＋AD＋DD′＝－AB＋AD＋AA′，又BD′＝xAD＋yAB＋zAA′，所以x＝1，y＝－1，z＝1.(2)因为AE＝AA′＋A′E＝AA′＋A′C′＝AA′＋(A′B′＋A′D′)＝AA′＋A′B′＋AD＝AD＋AB＋AA′，又AE＝xAD＋yAB＋zAA′，所以x＝，y＝，z＝1.10.如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，AB＝a，B1C1＝b，DD1＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．试用a，b，c表示如下向量：(1)AP；(2)AM.解：(1)因为AP＝AA1＋A1P，而AA1＝DD1＝c，A1P＝A1C＝(A1A＋AB＋BC)＝(－c＋a＋b)＝a＋b－c，所以AP＝c＋(a＋b－c)＝a＋b＋c.(2)因为AM＝AB＋BC＋CM，而AB＝a，BC＝B1C1＝b，且M是CD1的中点，则CM＝CD1＝(CD＋DD1)＝(－AB＋DD1)＝(－a＋c)，所以AM＝AB＋BC＋CM＝a＋b＋(－a＋c)＝a＋b＋c.[B.能力提升]1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，则AB1在CB1上的投影为()A．－B.C．－D.解析：选B.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，所以|AB1|＝，|AC|＝，|B1C|＝.所以△AB1C是等边三角形．所以AB1在CB1上的投影为|AB1|cos〈AB1，CB...
