课时作业48椭圆1．已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)，那么以F1，F2为焦点且经过点P的椭圆的短轴长为(B)A．3B．6C．9D．12解析：因为点P(5,2)在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝，|PF1|＝5，所以2a＝6，即a＝3，c＝6，则b＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.2．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(B)A.B.C.D.解析：由题意知a＝3，b＝，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2， OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝＝.又 |PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝，∴＝×＝，故选B.3．已知点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△MPF1＝λS△MF1F2－S△MPF2成立，则λ的值为(D)A.B.C.D．2解析：设内切圆的半径为r，因为S△MPF1＝λS△MF1F2－S△MPF2，所以S△MPF1＋S△MPF2＝λS△MF1F2；由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以ar＝λcr，c＝，所以λ＝＝2.4．(2019·安徽宣城一模)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若NM·NF＝0，则椭圆的离心率为(D)A.B.C.D.解析：由题意知，M(－a,0)，N(0，b)，F(c,0)，∴NM＝(－a，－b)，NF＝(c，－b)． NM·NF＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac.又知b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac.∴e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍)．∴椭圆的离心率为，故选D.5．(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为(D)A.B．1C.D.解析：法一：不妨设A点在B点上方，由题意知，F2(1,0)，将F2的横坐标代入椭圆方程＋＝1中，可得A点纵坐标为，故|AB|＝3，所以内切圆半径r＝＝＝(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长)，故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB|＝＝3，则S△ABF1＝×2×3＝3，又易得△ABF1的周长C＝4a＝8，则由S△ABF1＝C·r可得r＝.故选D.6．(2019·豫南九校联考)已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(A)A.B.C.D.解析：不妨设椭圆方程为＋＝1(a＞1)，与直线l的方程联立得消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，所以e＝＝≤，所以e的最大值为.故选A.7．(2019·河北衡水中学模拟)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为－5.解析：由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.8．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①＋＝1.②①、②两式相减并整理得＝－·.结合已知条件得，－＝－×，∴＝，故椭圆的离心率e＝＝.9．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝3，则b＝3.解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2，所以(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以|PF1||PF2|＝b2，所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin60°＝×b2×＝b2＝3，所以b＝3.10．椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2b2,3b2]，椭圆M的离心率为e，则e－的最小值是－.解析：由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|·|PF2|≤2＝a2，∴2b2≤a2≤3b2，即2a2－2c2≤a2≤3a2－3c2，∴≤≤，即≤e≤.令f(x)＝x－，则f(x)在上是增函数，∴当e＝时，e－取得最小值－＝－.11．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△...
