3.2空间向量的坐标[A基础达标]1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是()A．a＋b＝(10，－5，－6)B．a－b＝(2，－1，－6)C．a·b＝10D．|a|＝6解析：选D.a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2，1，－6)，a·b＝22，|a|＝6，所以A、B、C错．2.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则向量OD可用a，b，c表示为()A．a－b＋2cB．a－b－2cC．－a＋b＋cD.a－b＋c解析：选D.OD＝OC＋CD＝OC＋BA＝OC＋(OA－OB)＝a－b＋c.3．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且AB＝－i＋j－k，则B点的坐标为()A．(－1，1，－1)B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1)D．不确定解析：选D.由AB＝－i＋j－k，只能确定向量AB＝(－1，1，－1)，而向量AB的起点A的坐标未知，故终点B的坐标不确定．4．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为()A．2B．－2C．0D．1解析：选A.因为c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，所以(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝2－2x＝－2.所以x＝2.5．已知A点的坐标是(－1，－2，6)，B点的坐标是(1，2，－6)，O为坐标原点，则向量OA与OB的夹角是()A．0B.C．πD.解析：选C.设OA与OB的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－1，所以OA与OB的夹角是π.6．已知空间三个向量a＝(1，－2，z)，b＝(x，2，－4)，c＝(－1，y，3)，若它们分别两两垂直，则x＝________，y＝________，z＝________．解析：因为a⊥b，所以x－4－4z＝0.因为a⊥c，所以－1＋(－2)y＋3z＝0.因为b⊥c，所以－x＋2y－12＝0，所以x＝－64，y＝－26，z＝－17.答案：－64－26－177．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)、B(4，－3，7)、C(0，5，1)，M为BC的中点，则|AM|＝________．解析：M(2，1，4)，所以AM＝(－1，－2，2)．1所以|AM|＝＝3.答案：38．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝＜0，又|a|＞0，|b|＞0，所以a·b＜0，即2x＋4＜0，所以x＜－2.又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)9．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)．求：(1)|b|；(2)(2a＋3b)·(a－2b)．解：(1)|b|＝＝＝7.(2)(2a＋3b)·(a－2b)＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2＝2×62－22－6×72＝－244.10．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC.(1)设|c|＝3，c∥BC，求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.解：(1)因为BC＝(－2，－1，2)且c∥BC，所以设c＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ)．所以|c|＝＝3|λ|＝3.解得λ＝±1，所以c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．(2)因为a＝AB＝(1，1，0)，b＝AC＝(－1，0，2)，所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－.[B能力提升]11．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是()A.B.C.D.解析：选C.|b－a|＝＝＝≥.12．已知O为坐标原点，OA＝(1，2，3)，OB＝(2，1，2)，OP＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当QA·QB取得最小值时，点Q的坐标为()A.B.C.D.解析：选C.设OQ＝λOP，则QA＝OA－OQ＝OA－λOP＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝OB－OQ＝OB－λOP＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA·QB＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2[3(λ－)2－]．所以当λ＝时，QA·QB最小，此时OQ＝OP＝(，，)，即点Q的坐标为(，，)．13．已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.(1)求向量a，b，c；(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值．解：(1)因为a∥b，所以＝＝，2解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)．又由b⊥c得b·c＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝(3，－2，2)．(2)由第一问得，a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，因此向量a＋c与向量b＋c...
