加强练——导数一、选择题1.函数f(x)＝alnx＋x在x＝1处取到极值，则a的值为()A.－1B.－C.0D.解析因为f(x)＝alnx＋x，所以f′(x)＝＋1.又因为f(x)在x＝1处取到极植，所以f′(1)＝a＋1＝0⇒a＝－1.经检验符合题意.故选A.答案A2.函数y＝x2ex的单调递减区间是()A.(－1，2)B.(－∞，－1)与(1，＋∞)C.(－∞，－2)与(0，＋∞)D.(－2，0)解析y′＝(x2ex)′＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2).因为ex>0，所以由xex(x＋2)<0，得－20时，f(x)＝xlnx，f′(x)＝lnx＋1，令lnx＋1>0，则x>；令lnx＋1<0，则00，则a的取值范围是()A.(2，＋∞)B.(1，＋∞)2C.(－∞，－2)D.(－∞，－1)解析a＝0时，不符合题意，a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.若a>0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意.则a<0，由图象结合f(0)＝1>0知，此时必有f>0，即a×－3×＋1>0，化简得a2>4.又a<0，所以a<－2.答案C8.若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A.[－1，1]B.C.D.解析因为f(x)＝x－sin2x＋asinx，所以f′(x)＝1－cos2x＋acosx＝－cos2x＋acosx＋.由f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立.令t＝cosx，t∈[－1，1]，则－t2＋at＋≥0，在t∈[－1，1]上恒成立.所以4t2－3at－5≤0在t∈[－1，1]上恒成立.令g(t)＝4t2－3at－5，只需解得－≤a≤.答案C二、填空题9.设曲线y＝在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于________，切线方程为________________.解析y′＝，所以曲线在(3，2)处的切线的斜率为－，由题意知－a×＝－1，所以a＝－2，切线方程为y－2＝－(x－3)，即x＋2y－7＝0.答案－2x＋2y－7＝010.若函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0，1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝3________，b＝________.解析令f′(x)＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)＝0，解得x1＝0(舍去)，x2＝，x3＝－(舍去).又f(1)＝a－4a＋b＝b－3a，f(2)＝16a－16a＋b＝b，f()＝b－4a，所以所以a＝2，b＝3.答案2311.定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式<1的解集为________.解析令g(x)＝，则g′(x)＝＝.由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减.又g(0)＝＝1，所以<1，即g(x)0，所以不等式的解集为{x|x>0}.答案{x|x>0}12.已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln＋的图象分别与直线y＝m交于A，B两点，则|AB|的最小值为________，此时m的值为________.解析由题意A(lnm，m)，B(2em－，m)其中2em－>lnm且m>0，∴|AB|＝2em－－lnm.设y＝2ex－－lnx(x>0)，则y′＝2ex－－，令y′＝0，解得x＝，当x∈时，y′<0，当x∈时，y′>0，∴当x＝时，|AB|最小＝2＋ln2，此时m＝.答案2＋ln213.已知x∈(0，2)，若关于x的不等式<恒成立，则实数k的取值范围为________.解析依题意，知k＋2x－x2>0.即k>x2－2x对任意x∈(0，2)恒成立，从而k≥0，因此由原不等式，得k<＋x2－2x恒成立.令f(x)＝＋x2－2x，...
