大题规范练(五)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45分钟分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图8，已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°.图8(1)若c＝1，求△ABC面积的最大值；(2)若a＝2b，求tanA.【导学号：07804237】[解](1)由余弦定理得a2＋b2－2abcos120°＝1，a2＋b2＋ab＝1≥2ab＋ab＝3ab，当且仅当a＝b时取等号，解得ab≤，故S△ABC＝absinC＝ab≤，即△ABC面积的最大值为.(2)∵a＝2b，∴由正弦定理得sinA＝2sinB，又C＝120°，∴A＋B＝60°，∴sinA＝2sin(60°－A)＝cosA－sinA，∴cosA＝2sinA，∴tanA＝.18．某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为.每台仪器各项费用如表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额(元)10001002003000(1)求每台仪器能出厂的概率；(2)求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率(注：利润＝出厂价－生产成本－检验费－调试费)；(3)假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．[解](1)记每台仪器不能出厂为事件A，则P(A)＝＝，所以每台仪器能出厂的概率P()＝1－＝.(2)生产一台仪器利润为1600的概率P＝×＝.(3)X可取3800,3500,3200,500,200，－2800.P(X＝3800)＝×＝，P(X＝3500)＝C××＝，P(X＝3200)＝＝，P(X＝500)＝C××＝，P(X＝200)＝C××＝，P(X＝－2800)＝＝.X的分布列为：X380035003200500200－2800PE(X)＝3800×＋3500×＋3200×＋500×＋200×＋(－2800)×＝3350.19．如图9，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AC与BD相交于点E，PA⊥平面ABCD，PA＝4，AD＝2，AB＝2，BC＝6.(1)求证：BD⊥平面PAC；图9(2)求二面角APCD的余弦值．[解](1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝.∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,4)，CD＝(－2，－4,0)，PD＝(0,2，－4)，BD＝(－2,2,0)，设平面PCD的法向量为n＝(x，y,1)，则CD·n＝0，PD·n＝0，∴，解得，∴n＝.由(1)知平面PAC的一个法向量为m＝BD＝(－2，2,0)，∴cos〈m，n〉＝＝，即二面角APCD的余弦值为.(请在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分)22．选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ2＝cos2θ＋sinθ(ρ≥0)．(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长度；(2)若M，N是曲线C上两点，且OM⊥ON，求线段MN长度的最大值．[解](1)由题意知，直线l的普通方程为y＝x，则其极坐标方程为θ＝或θ＝，不妨设A，B，把θ＝代入ρ2＝cos2θ＋sinθ，得ρ＝2＋＝，所以|OA|＝；把θ＝代入ρ2＝cos2θ＋sinθ，得ρ＝2－＝，所以|OB|＝，所以线段AB的长度为＋＝.(2)设M(ρ3，α)，N，则|OM|2＝cos2α＋sinα，|ON|2＝cos2＋sin＝sin2α＋cosα，所以|MN|2＝|OM|2＋|ON|2＝cos2α＋sinα＋sin2α＋cosα＝1＋sin，故当α＝时，|MN|取得最大值.23．选修45：不等式选讲已知f(x)＝2|x＋1|－x的最小值为b.(1)求b；(2)已知a≥b，求证：＋≥a.[解](1)f(x)＝2|x＋1|－x＝所以b＝f(x)min＝f(－1)＝1.(2)证明：由(1)知b＝1，设a＝1＋m(m≥0)，则＋＝＋＝＋＝＋≥1＋m＝a.
