第七节正弦定理和余弦定理A组基础题组1.(一题多解)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=❑√5,c=2,cosA=23,则b=()A.❑√2B.❑√3C.2D.3答案D解法一:由余弦定理得5=22+b2-2×2bcosA, cosA=23,∴3b2-8b-3=0,∴b=3(b=-13舍去).故选D.解法二:由cosA=23得sinA=❑√53,根据asinA=csinC得sinC=23,所以A与C互余,故△ABC为直角三角形,且B=90°,因此b=❑√a2+c2=3.2.(2018课标全国Ⅲ,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.π2B.π3C.π4D.π6答案C因为a2+b2-c2=2abcosC,且S△ABC=a2+b2-c24,所以S△ABC=2abcosC4=12absinC,所以tanC=1,又C∈(0,π),所以C=π4.故选C.3.(2018湖北武汉调研)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2bcosC=2a+c,则B=()A.π6B.π4C.π3D.2π3答案D因为2bcosC=2a+c,所以由正弦定理可得2sinBcosC=2sinA+sinC=2sin(B+C)+sinC=2sinBcosC+2cosBsinC+sinC,即2cosBsinC=-sinC,又sinC≠0,所以cosB=-12,又0c,则bc=.答案2解析由acosB-c-b2=0及正弦定理可得sinAcosB-sinC-sinB2=0.因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以-sinB2-cosAsinB=0,所以cosA=-12,即A=2π3.由余弦定理得a2=72bc=b2+c2+bc,即2b2-5bc+2c2=0,又b>c,所以bc=2.8.(一题多解)在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则sinA=.答案3❑√1010解析解法一:过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD=a3, B=π4,∴AD=BD,∠BAD=π4,∴BD=a3,DC=23a,tan∠DAC=DCAD=2.∴tan∠BAC=tan(π4+∠DAC)=tanπ4+tan∠DAC1-tanπ4·tan∠DAC=1+21-2=-3.cos2∠BAC=11+tan2∠BAC=110,sin∠BAC=❑√1-cos2∠BAC=3❑√1010.解法二:过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD=a3, B=π4,∴AD=BD,∴BD=AD=a3,DC=23a,∴AC=❑√(a3)2+(23a)2=❑√53a,在△ABC中,由正弦定理得asin∠BAC=❑√53asin45°,∴sin∠BAC=3❑√1010.9.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2❑√2,求BC.解析(1)在△ABD中,由正弦定理得BDsin∠A=ABsin∠ADB.结合题设知,5sin45°=2sin∠ADB,所以sin∠ADB=❑√25.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=❑√1-225=❑√235.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=❑√25.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2❑√2×❑√25=25.所以BC=5.10.(2018安徽合肥质量检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,bcosC=acos2B+bcosAcosB.(1)求证:△ABC是等腰三角形;(2)若cosA=78,且△ABC的周长为5,求△ABC的面积.解析(1)证明:根据正弦定理及bcosC=acos2B+bcosAcosB,可得sinBcosC=sinAcos2B+sinBcosAcosB=cosB·(sinAcosB+sinBcosA)=cosBsin(A+B),即sinBcosC=cosBsinC,所以sin(B-C)=0,由B,C∈(0,π),得B-C∈(-π,π),故B=C,所以△ABC是等腰三...
