高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质高效演练 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP免费

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质A级基础巩固一、选择题1．(1＋x)2n＋1(n∈N*)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋3解析：因为2n＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n＋1，n＋2.答案：C2．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析：令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)×(－1)9＝－2，故选A.答案：A3．已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n(1＋x)展开式中含x2项的系数为()A．71B．70C．21D．49解析：因为奇数项的二项式系数和为2n－1，所以2n－1＝64，n＝7，因此(1－2x)n(1＋x)展开式中含x2项的系数为C(－2)2＋C(－2)＝70.答案：B4．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于()A．64B．32C．63D．31解析：由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C＋C＋C＝C＋C＋C＝×26＝32.答案：B5．若的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n的最小值是()A．3B．4C．10D．12解析：Tr＋1＝C(x)n－r＝C()n－r·(－1)r·xn－r·x－＝C()n－rxn－r，令n－r＝0，得n＝r.所以n取最小值为4.答案：B二、填空题6．(a＋)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________．解析：C＋C＋C＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝Ca3()7＝120a.答案：120a7．(1＋x＋x2)·(1－x)10的展开式中，x5的系数为________．解析：由题意可得：(1＋x＋x2)(1－x)10＝(1＋x＋x2)(x－1)10＝(x3－1)(x－1)9，即考查代数式：x3(x－1)9－(x－1)9中x5的系数，据此可得，系数为：C×(－1)7－C×(－1)4＝－162.1答案：－1628．如图所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．1223434774511141156162525166…解析：由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝.答案：46三、解答题9．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99.解：(1)令x＝0，得a0＝2100.(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100＝(2－)100，①所以a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100＝(2－)100－2100.(3)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.②由①②联立，得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝.10．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26，解得n＝8.所以(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1120x4.设第(k＋1)项系数最大，则有解得5≤k≤6.又因为k∈{0，1，2，…，8}，所以k＝5或k＝6.所以系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.B级能力提升1．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为()A．奇数B．偶数2C．3的倍数D．被3除余1的数解析：9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C·9n＋…＋C·92＋C＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，所以n＋1为偶数，n为奇数．答案：A2．(2015·山东卷)观察下列各式：C＝40；C＋C＝41；C＋C＋C＝42；C＋C＋C＋C＝43；……照此规律，当n∈N*时，C＋C＋C＋…＋C＝________．解析：具体证明过程可以是：C＋C＋C＋…＋C＝(2C＋2C＋2C＋…＋2C)＝[(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)]＝(C＋C＋C＋…＋C＋C＋…＋C)＝·22n－1＝4n－1.答案：4n－13．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．解：由得Tr＋1＝C＝Cx，令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，所以r＝4，常数项T5＝C·＝16.又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝Ca4＝54.解得a＝±.3