高中数学 黄金100题系列 第64题 空间垂直关系的证明 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第64题空间垂直关系的证明I．题源探究·黄金母题【例1】如图，在正方体中，求证：（1）平面；（2）与平面的交点是的重心（三角形三条中线的交点）．【解析】（1）连接，，又⊥面，∴， ，∴⊥面，因此．同理可证：，∴平面．（2）连接，由，得．∴点为的外心.又是正三角形，∴点为的中心，也为的重心．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出AB⊥AP，CD⊥PD.而AB∥CD，就可证明出AB⊥平面PAD.进而证明平面PAB⊥平面PAD.试题解析：（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.（2）略【例3】【2017课标3理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.【答案】(1)证明略；(2).【解析】分析：(1)利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；解析：（1）由题设可得，，从而又是直角三角形，所以取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO又由于△ABC是正三角形，故.所以为二面角的平面角.在Rt△AOB中，.又，所以，故.所以平面ACD⊥平面ABC.【例4】【2015高考新课标1理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）略【解析】在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，∴，∴EG⊥FG， AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC， EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.【例5】【2016高考浙江理数】如图,在三棱台中,平面平面,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求证：EF⊥平面ACFD；(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）略．【解析】（I）延长，，相交于一点，如图所示．因为平面平面，且，所以，平面，因此，．又因为，，，所以为等边三角形，且为的中点，则．所以平面．【例6】【2015高考陕西理18】如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．（I）证明：平面；（II）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）．【解析】分析：（I）先证，，再可证平面，进而可证平面；（II）建空间直角坐标系，再算出平面和平面的法向量，进而可得平面与平面夹角的余弦值．解析：（I）在图1中，因为，，是的中点，，所以，即在图2中，，，从而平面又，所以平面.(II)由已知，平面平面，又由（I）知，，所以为二面角的平面角，所以.如图，以为原点，建立空间直角坐标系，因为，得，.设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，，得，取，从而，即平面与平面夹角的余弦值为.【名师点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．【例7】【2014江苏理16】如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，求证（1）直线平面；（2）平面平面.【答案】证明见解析．【解析】（1）由于分别是的中点，则有，又，，所以．（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以，又，所以平面平面．【名师点晴】由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．证明线面垂直时，不要忽视面内两条线为相交线这一条件．证明直线与平面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系...