一线名师指点07年高考数学同步辅导第31讲向量的综合应用【考点回放】1奎屯王新敞新疆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1奎屯王新敞新疆平行四边形法则2奎屯王新敞新疆三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法是一个向量,满足:>0时,与同向;<0时,与异向;=0时,=奎屯王新敞新疆∥向量的数量积是一个数或时,=0且时,,2奎屯王新敞新疆重要定理、公式：(1)平面向量基本定理：是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数，使(2)两个向量平行的充要条件：∥＝λ奎屯王新敞新疆(3)两个向量垂直的充要条件：⊥·＝O奎屯王新敞新疆(4)线段的定比分点公式：设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则＝＋(线段的定比分点的向量公式)(线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：＝（＋）或用心爱心专心116号编辑(5)平移公式：设点按向量平移后得到点，则＝+或，曲线按向量平移后所得的曲线的函数解析式为：(6)正、余弦定理正弦定理：余弦定理：3．两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos．其中︱︱cos=称为向量在方向上的投影．4．向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆cos==．【考点解析】1.若O是△ABC内一点，++=0，则O是△ABC的A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：以、为邻边作平行四边形OBDC，则=+.又++=0，∴+=－.∴－=.∴O为AD的中点，且A、O、D共线.又E为OD的中点，∴O是中线AE的三等分点，且OA=AE.∴O是△ABC的重心.答案：D2.将椭圆x2+6y2－2x－12y－13=0按向量a平移，使中心与原点重合，则a的坐标是A.（－1，1）B.（1，－1）C.（－1，－1）D.（1，1）用心爱心专心116号编辑解析：椭圆方程变形为（x－1）2+6（y－1）2=20.需按a=（－1，－1）平移，中心与原点重合.答案：C3.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（－1，3），若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为A.3x+2y－11=0B.（x－1）2+（y－2）2=5C.2x－y=0D.x+2y－5=0解析：C点满足=α+β且α+β=1，∴A、B、C三点共线.∴C点的轨迹是直线AB.答案：D4.在四边形ABCD中，·=0，=，则四边形ABCD是A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由·=0知⊥.由=知BCAD.∴四边形ABCD是矩形.答案：C5.（2004年全国Ⅱ，理9）已知平面上直线l的方向向量e=（－，），点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是和A′，则=λe，其中λ等于A.B.－C.2D.－2解析：如图所示，令e过原点，与e方向相反，排除A、C，验证D即可.答案：D6(2006湖北模拟)．已知△ABC中，a、b、c三边长分别为3，4，5，则的值为（）A．7B．－7C．－25D．25解析：=c·a(－cosB)+0+b·ccosA=－a2+b2=7，选A评析：本题考察考生平面向量运算及应用能力【考点演练】1.（2004年辽宁，6）已知点A（－2，0），B（3，0），动点P（x，y）满足·=x2，则点P的轨迹是A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：=（－2－x，－y），=（3－x，－y），·=（－2－x）（3－x）+（－y）2=x2，整理得y2=x+6.∴P点的轨迹为抛物线.答案：D2.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，B城市处于危险区内的时间为A.0.5hB.1hC.1.5hD.2h解析：台风中心移动th，城市B处在危险区，则（20t）2+402－2×20t×40×cos45°≤900.用心爱心专心116号编辑∴－≤t≤+.∴B城市处在危险区的时间为1h.答案：B3.在一座20m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为_______.解析：如图，AD=DC=20.∴BD=ADtan60°=20.∴塔高为20（1+）m.答案：20（1+）m4.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝_______方向行驶.解析：如下图，为使小船所走路程最短，v水+v船应与岸垂直.又v水==1，v船==，∠ADC=90...
