1.1.2量词[A基础达标]1．下列存在性命题中，是假命题的是()A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．有的直线不存在倾斜角D．某些直线不存在斜率解析：选C．A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；D中，垂直于x轴的直线不存在斜率，是真命题；C中，所有的直线都存在倾斜角，是假命题．故选C．2．下列命题中，是全称命题且是真命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0B．菱形的两条对角线相等C．∀x∈R，＝xD．对数函数在定义域上是单调函数解析：选D．A中的命题是全称命题，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D．3．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R，2x>0解析：选C．对于A，当x＝1时，lgx＝0，正确；对于B，当x＝时，tanx＝1，正确；对于C，当x<0时，x3<0，错误；对于D，∀x∈R，2x>0，正确．4．下列命题中，真命题是()A．∃x∈R，sinx＋cosx＝1.5B．∀x∈(0，π)，sinx>cosxC．∃x∈R，x2＋x＝－1D．∀x∈(0，＋∞)，x2>x－1解析：选D．A选项中sinx＋cosx＝sin≤，所以不可能等于1.5.B选项中x＝时cosx>sinx，故为假命题．不存在这样的x，使x2＋x＝－1，所以C不正确．易知x∈(0，＋∞)时，x2－x＋1>0恒成立，故选D．5．给出下列四个命题：①对任意的x∈R，x2＞0；②存在x∈R，使得x2≤x成立；③对于集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M且x∈N；④存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ.其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选D．对于①，存在x＝0，使得x2＝0，故①是假命题；显然②③④是真命题．16．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在性命题为________．解析：存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．答案：∃x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞07．若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于tanx≤m在区间上恒成立，即y＝tanx在上的最大值小于或等于m，又y＝tanx在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.答案：18．下列命题：①存在x<0，x2－2x－3＝0；②对于一切实数x<0，都有|x|>x；③已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N＋，an≠bm.其中，所有真命题的序号为________．解析：因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x＝－1<0，使x2－2x－3＝0，故①为真命题；②显然为真命题；③当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故③为假命题．答案：①②9．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)一定有整数x，y，使得3x＋2y＝10成立；(2)对所有的实数x，都能使x2＋2x＋2≤0成立．解：(1)∃x，y∈Z，3x＋2y＝10；(2)∀x∈R，x2＋2x＋2≤0.10．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假．(1)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；(2)∃x∈R，使x2＋1＜0；(3)∃T∈R，使|sin(x＋T)|＝|sinx|；(4)∀x∈{3，5，7}，3x＋1是偶数．解：(1)命题中含有全称量词“任意”，故为全称命题，又存在x1＝0，x2＝π，x1＜x2但tan0＝tanπ，故命题为假命题．(2)命题中含有“∃”，故为存在性命题，又∀x∈R，都有x2＋1＞0，故命题为假命题．(3)命题中含有“∃”，故为存在性命题，又∃T＝π，使得|sin(x＋π)|＝|sinx|，故命题为真命题．(4)命题中含有“∀”，故为全称命题，又将3，5，7分别代入3x＋1，得10，16，22都是偶数，故命题为真命题．[B能力提升]11．给出下列命题：①存在实数x＞1，使x2＞1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中存在性命题的个数为()2A．1B．2C．3D．4解析：选C．①③④为存在性命题，②为全称命题．故选C．12．给出下列命题：①∀x∈R，是无理数；②∀x，y∈R，如果x＋y≠0，则x，y至少有一个不为0；③存在实数既能被3整除又能被19整除；④x>1与<1同解．其中真命题的序号是________．解析：对①，取x＝0...
