2017高考数学一轮复习第八章解析几何第7讲抛物线习题A组基础巩固一、选择题1．(2015·山西大学附中第一学期12月月考)若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a＝()A．1B．C．2D．[答案]D[解析]因为抛物线的标准方程为x2＝y，所以其焦点坐标为(0，)，则有＝1，a＝，故选D.2．(2015·河北保定衡水中学第四次联考)抛物线y＝4x2关于直线x－y＝0对称的抛物线的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－C．x＝－1D．x＝－[答案]D[解析]抛物线x2＝y的准线方程为y＝－，关于x＝y对称的准线方程x＝－为所求．3．(2015·宁夏银川九中第四次月考)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(－3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x[答案]B[解析]依题意得，－(－3)＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为y2＝－8x.4．(2015·江西新余上学期期末)从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PMF的面积为()A．5B．10C．20D．[答案]B[解析]根据题意得点P的坐标为(4，±4)，所以S△PMF＝|yP|·|PM|＝×4×5＝10，故选B.5．(2015·四川绵阳中学上学期第五次月考)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为()A.B．C．3D．2[答案]D[解析]直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，则点P到直线l2：x＝－1的距离等于PF，过点F作直线l1：4x－3y＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P，所以点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和到直线l2：x＝－1的距离之和的最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值为＝2，故选D.6．(2015·湖北武汉武昌区上学期元月调研)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是()A.B．C.D．[答案]C[解析]设|AF|＝a，|BF|＝b，过A点作AQ垂直于准线交准线于点Q，过B点作BP垂直于准线交准线于点P，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|.在梯形ABPQ中，∴2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab.因为ab≤()2，所以|AB|2≥(a＋b)2⇒|AB|≥(a＋b)，所以≤＝.故选C.二、填空题7．(2015·陕西)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝____________.[答案]2[解析]y2＝2px的准线方程为x＝－，又p＞0，所以x＝－必经过双曲线x2－y2＝1的左焦点(－，0)，所以－＝－，p＝2.8．(2015·河北邢台摸底考试)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是____________________.[答案]5[解析]抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线为y＝－1，由抛物线的定义得|MF|等于M到准线的距离d，所以|MA|＋|MF|的最小值等于圆心C到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.9．(2015·陕西延安中学第五次月考)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝____________________.[答案]2[解析]抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，p＝2.由＋＝，即＋＝，∴|BF|＝2.10．(2015·山东枣庄第三中学第二次(1月)学情调查)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QO|＝________.[答案]3[解析]设Q，F在准线上的投影分别为Q′，F′，由FP＝4FQ，知＝，∴|QQ′|＝3，∴Q(1，±2)，∴|QO|＝＝3.三、解答题11．(2015·河北唐山上学期期末)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，OA·OB＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．[答案](1)y2＝4x(2)x±y＋2＝0[解析](1)设直线l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝＝4.因为OA·OB＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，和p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)(*)化为y2－4my＋8＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝8.设AB的中点为M(xM，yM)，则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1...
