第三章3.13.1.13.1.2A级基础巩固一、选择题1．若函数f(x)＝2x，当自变量的改变量Δx＝3时f(x)的平均变化率为(B)A．1B．2C．3D．4[解析]由f(x＋Δx)－f(x)＝2(x＋Δx)－2x＝2Δx，∴f(x)的平均变化率为＝＝2.2．(2020·滁州民办高中检测)设f(x)是可导函数，且lim＝2，则f′(x0)＝(B)A．B．－1C．0D．－2[解析]因为lim＝－2lim＝－2f′(x0)＝2所以f′(x0)＝－1，故选B．3．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为(A)A．f′(x0)＝limB．f′(x0)＝lim[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)D．f′(x0)＝[解析]B中lim[f(x0＋Δx)－f(x0)]表示函数值的变化量的极限；C中f(x0＋Δx)－f(x0)表示函数值的变化量；D中表示函数的平均变化率．4．(2020·杭州高二检测)设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为(A)A．2.1B．1.1C．2D．0[解析]∵函数f(x)＝x2－1的自变量x由1变成1.1，所以Δx＝1.1－1＝0.1，Δy＝(1.12－1)－(12－1)＝0.21，∴＝＝2.1.故选A．5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝(C)A．Δx－3B．(Δx)2－3ΔxC．－3D．0[解析]f′(0)＝lim＝lim＝lim(Δx－3)＝－3.故选C．6．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(C)A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b[解析]∵f′(x0)＝lim＝lim＝lim(a＋bΔx)＝a.∴f′(x0)＝a.二、填空题7．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝__(Δx)2＋6Δx＋12__.[解析]∵Δy＝(2＋Δx)3－2－6＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx，∴＝(Δx)2＋6Δx＋12.8．(2020·阿拉善左旗校级期末)若函数y＝x2－1的图象上的点A(1,0)，则当Δx＝0.1时的平均变化率是__2.1__.[解析]Δy＝(1＋Δx)2－1＋1＝2Δx＋Δx2，∴＝2＋Δx，当Δx＝0.1时，平均变化率为2.1.三、解答题9．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度．[解析]由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2，∴＝＝－1－Δt.∴v＝lim＝lim(－1－Δt)＝－1.∴物体在t＝2时的瞬时速度为－1.B级素养提升一、选择题1．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于(C)A．6＋ΔtB．12＋Δt＋C．12＋2ΔtD．12[解析]＝＝12＋2Δt.2．做直线运动的物体，其位移s和时间t的关系是：s＝3t－t2，则它的初速度是(B)A．0B．3C．－2D．3－2t[解析]初速度即为t＝0时的瞬时速度，＝＝＝3－Δt2.当Δt趋近于0时，趋近于3，故它的初速度为3.3．设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝(C)A．－1B．C．1D．[解析]∵f′(－1)＝lim＝lim＝3a，∴3a＝3，解得a＝1.故选C．4．(多选题)直线运动的物体，从时刻t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么对于lim的下列说法错误的是(ABC)A．从时刻t到t＋Δt时，物体的平均速度B．从时刻t到t＋Δt时位移的平均变化率C．当时刻为Δt时该物体的速度D．该物体在t时刻的瞬时速度[解析]根据题意，直线运动的物体，从时刻t到t＋Δt时，时间的变化量为Δt，而物体的位移为Δs，那么lim为该物体在t时刻的瞬时速度；故选ABC．5．(多选题)某物体做自由落体运动的位移s(t)＝gt2，g＝9.8m/s2，若lim＝9.8m/s，则对于数据9.8m/s，下列说法错误的是(ABD)A．是从0s到1s这段时间的平均速度B．是从1s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度C．是t＝1s这一时刻的瞬时速度D．是t＝Δts这一时刻的瞬时速度[解析]根据题意，lim＝9.8m/s，则物体在t＝1s这一时刻的瞬时速度为9.8m/s，故选ABD．二、填空题6．已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为__0_m/s__.[解析]ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4Δt2，∴＝＝－4Δt，∴v＝lim＝lim(－4Δt)＝0.∴物体在t＝2s时的瞬时速度为0m/s.7．已知自由落体的运动方程为s(t)＝5t2，则落体在t＝2时的瞬时速度为__20__.[解析]由题物体在t＝2到t＝2＋Δt这一段时间内的平均速度为＝＝20＋5Δt，则当Δt→0时→20，即t＝2时的瞬时速度为20.三、解答题8．函数f(x)＝分别求x＝0和x＝6时的导数．[解析]f′(1)lim＝lim＝limΔx＝0，f′(6)＝lim＝lim＝lim＝lim＝.
