高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6.1 曲线与方程作业 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

2.6.1曲线与方程[基础达标]方程4x2－y2＝0表示的曲线是________．解析：原方程可化为(2x＋y)(2x－y)＝0，即2x＋y＝0或2x－y＝0.所以表示的曲线是两条直线．答案：两条直线下列各组方程表示相同曲线的是________(填序号)．①y＝x与y＝；②y＝()2与y＝|x|；③(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0；④y＝与xy＝1.解析：①y取值不同；②中x的取值不同；③中前者x＝1且y＝－2，后者x＝1或y＝－2.答案：④若两条直线2x－y＋k＝0与x－y－1＝0的交点在曲线x2＋y2＝1上，则k＝________．解析：由得∵交点在x2＋y2＝1上，∴(－1－k)2＋(－2－k)2＝1.解得k＝－1或－2.答案：－1或－2方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．解析：由得或或或故方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是四个点(±2，±2)．答案：四个点(±2，±2)直线l：y＝k(x－1)与椭圆＋＝1的交点个数为________．解析：∵直线l恒过点(1，0)，而点(1，0)在椭圆的内部．∴直线与椭圆恒有两个交点．答案：2已知0≤α<2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值是________．解析：将P点坐标代入方程求解，(cosα－2)2＋sin2α＝3，∴cosα＝.∵0≤α<2π，∴α＝或.答案：或已知直线a1x＋b1y＋1＝0及直线a2x＋b2y＋1＝0均过点(2，3)，则过点(a1，b1)、(a2，b2)(a1≠a2，b1≠b2)的直线的方程是________________．解析：∵两直线均过点(2，3)，∴2a1＋3b1＋1＝0，2a2＋3b2＋1＝0.从而可知点(a1，b1)，(a2，b2)均在直线2x＋3y＋1＝0上．故过(a1，b1)，(a2，b2)的直线的方程是2x＋3y＋1＝0.答案：2x＋3y＋1＝0设a为非零实数，则曲线y＝ax2＋(3a－1)x－(10a＋3)恒过定点________．解析：原方程可转化为y＝a(x2＋3x－10)＋(－x－3)，即a(x2＋3x－10)－(x＋y＋3)＝0，∴由得或，故可得该曲线恒过定点(2，－5)，(－5，2)．答案：(2，－5)，(－5，2)当实数a，b变化时，直线l1：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0与直线l2：m2x＋2y＋n＝0都过一个定点，问：点(m，n)应在怎样的曲线上？解：因为(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝(2x＋y＋1)a＋(x＋y－1)b＝0对于任意的a，b都成立，所以2x＋y＋1＝0且x＋y－1＝0，二者联立，解得x＝－2，y＝3，即直线l1过定点(－2，3)．因此直线l2也过定点(－2，3)，将点坐标代入l2：m2x＋2y＋n＝0，可得－2m2＋6＋n＝0，即n＝2m2－6.因此点(m，n)在抛物线y＝2x2－6上．已知椭圆＋y2＝1和双曲线x2－y2＝1.(1)求证它们的交点共圆；(2)求以其交点为顶点的平面图形的面积．解：(1)证明：由得∴x2＋y2＝，即交点共圆于x2＋y2＝.故它们的交点共圆．1(2)∵四个交点分别为，，，，关于x轴、y轴对称．∴以此四点为顶点构成的平面图形为矩形．∴S＝4××＝，即所求平面图形的面积为.[能力提升]下列四条曲线：①x2＋y2＝；②＋＝1；③x2＋＝1；④＋y2＝1.其中与直线x＋y－＝0有且仅有一个交点的曲线是________(填序号)．解析：对于①，∵d＝＝＝r，∴直线与圆相切，即有且仅有一个交点，故①符合．对于②，由消去y得13x2－18x＋9＝0，∵Δ＝(－18)2－4×9×13>0，∴方程有两个不相等的实根，即直线与椭圆＋＝1有两个不同的交点，故②不符合．对于③，由消去y得5x2－2x＋1＝0，∵Δ＝20－4×5＝0，∴方程有两个相等的实根，即直线与椭圆x2＋＝1有且仅有一个交点，故③符合．由对称性知，④也符合．答案：①③④已知(4，2)是直线l被椭圆＋＝1所截得线段的中点，则l的方程是________．解析：设直线与椭圆的交点坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又∵x1＋x2＝4×2＝8，y1＋y2＝2×2＝4，∴＝－，即kP1P2＝－.由点斜式得l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.答案：x＋2y－8＝0已知点P(a，b)(ab≠0)在椭圆＋y2＝1上，试证：点Q在双曲线4x2－4y2＝1上．证明：∵P是椭圆＋y2＝1上的点，∴＋b2＝1，∴4－4＝(1－b2)＝×＝1.因此点Q在双曲线4x2－4y2＝1上．(创新题)对于椭圆x2＋＝1，是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰好被直线x＋＝0平分？若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．解：设l的方程为y＝kx＋m，由得(k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0，∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)>0，即m2－k2－9<0.又＝－＝－，∴m＝.∴－(k2＋9)<0.解得k2>3，即k>或k<－，∴倾斜角满足<α<或<α<，即满足条件的直线l存在，其倾斜角的范围是(，)∪(，)．2