阶段训练五(范围：§3.1)一、选择题1．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO＋OB＝DO＋OC，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．空间四边形C．等腰梯形D．矩形答案A解析由AO＋OB＝AB＝DO＋OC＝DC，得AB＝DC，故四边形ABCD为平行四边形，故选A.2．下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是()A.AB＋BC＝ACB.AB－BC＝ACC.AB＝BCD．|AB|＝|BC|答案C解析由AB＝BC知AB与BC共线，又因有一共同的点B，故A，B，C三点共线．3．(2018·吉林期中)已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(－1,2，－3)，若|PQ|＝3|MN|且PQ∥MN，则Q点的坐标为()A．(2,5,0)B．(－4，－1，－6)或(2,5,0)C．(3,4,1)D．(3,4,1)或(－3，－2，－5)考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案B解析设Q(x，y，z)，则PQ＝(x＋1，y－2，z＋3)，MN＝(1,1,1)，∴解得或∴Q点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．4．(2018·浙江舟山模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若PA＝a，PB＝b，PC＝c，则BE等于()A.a－b＋cB.a－b－cC.a－b＋c1D.a－b＋c考点空间向量基底的概念题点空间向量基本定理答案C解析由E为PD的中点知，BE＝(BP＋BD)＝－PB＋(BA＋BC)＝－PB＋BA＋BC＝－PB＋(PA－PB)＋(PC－PB)＝－PB＋PA＋PC＝a－b＋c.5．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则AE·CF等于()A．0B.C．－D．－考点空间向量的数量积的概念与性质题点利用定义求数量积答案D解析AE·CF＝(AB＋AC)·＝AB·AD＋AC·AD－AB·AC－|AC|2＝cos60°＋cos60°－cos60°－＝－.6．已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若l1∥l2，则λ与μ的值可以分别是()A．2，B．－，C．－3,2D．2,2答案A解析由题意知解得或7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AB的中点，则sin〈DB1，CM〉等于()A.B.C.D.考点空间向量在求空间角中的应用题点空间向量求线线角答案B解析如图所示，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．2设棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，M，∴DB1＝(1,1,1)，CM＝.∴cos〈DB1，CM〉＝＝＝，∴sin〈DB1，CM〉＝.8．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)答案A解析设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．二、填空题9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若AC1＝xAB＋2yBC＋3zC1C，则x＋y＋z＝________.考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案解析 AC1＝AB＋BC＋CC1，∴∴∴x＋y＋z＝.10．(2018·晋中模拟)已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1,1，－4)，则(2a－3b)·(a＋2b)＝________.考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案－81解析因为2a－3b＝2(2，－1，－2)－3(1,1，－4)＝(1，－5,8)，a＋2b＝(2，－1，－2)＋2(1,1，－4)＝(4,1，－10)，所以(2a－3b)·(a＋2b)＝(1，－5,8)·(4,1，－10)＝－81.11．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为________．考点空间向量数量积的应用3题点空间向量数量积的综合应用答案解析如图，过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1. BD＝BM＋MN＋ND，∴|BD|2＝(BM＋MN＋ND)2＝|BM|2＋|MN|2＋|ND|2＋2(BM·MN＋MN·ND＋BM·ND)＝2＋12＋2＋0＝，∴|BD|＝.三、解答题12．(2018·菏泽模拟)已知向量a＝(2,1，－2)，c＝(－1，0,1)，若向量b同时满足下列三个条件：①a·b＝－1；②|b|＝3；③b与c垂直．(1)求向量b的坐标；(2)若向量b与向量d＝共线，求向量a－b与2b＋3c夹角的余弦值．考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算解(1)设b＝(x，y，z)，则由题意可知解得或∴b＝(2，－1,2)或b＝(－2，－1，－2)．(2) 向量b与向量d＝共线，∴b＝(2，－1,2)．又 a＝(2,1，－2)，c＝(－1,0,1)，∴a－b＝(0,2，－4)，2b＋3c＝(1，－2...
