高中数学源于二项式定理的一类探索性问题专题辅导VIP免费

高中数学源于二项式定理的一类探索性问题张尊好张端平问题：设数列{}ann21是以1为首项，公差为1的等差数列，是否存在等差数列{}bn，使abCbCbCbCnnnnnnn112233…对一切自然数n成立。此类问题，初看起来无法下手，但它源于二项式定理，下面我们从二项式定理入手揭示它的命题规律和方法。二项式定理：()abCaCabCabCbnnnnnnnnnn011222…（*）在（*）式中，令abab1111，或，得：CCCCCnnnnnnn01232…CCCCnnnnnn01210…()于是可构造：命题1是否存在常数a，使CCCCannnnnn012…命题2是否存在常数a，使CCCCannnnnnn0121…()以上结论是显然的，若在（*）式中，令ab12，，有()()()()122220122nnnnnnnCCCC…1222212321()[()()()]CCCCnnnnnn…即：CCCCnnnnnnn12321222112()()()()…考察上式的结构特点，可以构造：命题3是否存在一个等比数列{}an，对任意的自然数n，总有：aCaCnn1122aCaCnnnnn33112…()成立，显然存在数列{}()aannn，21，使命题3成立。不难发现，命题3是与自然数有关的问题，也可先探索出an，再用数学归纳法证明，下证之。证：当n1时，aCa111111，所以当n2时aCaCa121222202，当n3时，aCaCaCa131232333314，推测ann()21下用数学归纳法证明：（1）当n1时，已验证成立：（2）假设nkkN()时命题成立，用心爱心专心即：aCaCaCaCkkkkkkk112233112…()当nk1时aCaCaCaCaCkkkkkkkkk1112123131111…aCCaCCaCCaCCaCkkkkkkkkkkkkkk10121232311()()()()…aCaCaCaCaCaCaCaCaCaCaCaCaCaCaCkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk1021324311112223101122112112[][]()[]()………121121121121121()()()()()kkkk即：nk1时，命题成立。综上，对任意自然数n命题成立，即存在等比数列{an}，ann()21，使aCaCaCaCnnnnnnn112233112…()成立。类似地，在（*）式中令，ab113，得()()()()()[()()]13333333012201211nnnnnnnnnnnnnCCCCCCCC……整理得：CCCnnnnnn121133123()()()…由此，可构造：命题4是否存在一个等比数列{}an，使对于任意的自然数n，总有aCaCnn1122aCaCnnnnn33123…()成立，并证明你的结论。仿命题3，可得到：ann()31。进一步：在()abCaCabCbnnnnnnnn1101112111…中令ab11，有：CCCCnnnnnn1011121112…两边同乘以n：nCnCnCnCnCnnnnnnnn101112131112…利用公式：kCnCnknk11得12321231CCCnCnnnnnnn…·于是可以构造：命题5是否存在一个等差数列{}bn，使对任意自然数n，总有：bCbCnn1122bCbCnnnnnn3312…·成立，并证明你的结论。用构造本题的方法，容易完成本题的证明，即存在等差数列{}bbnnn，，使命题5成用心爱心专心立。我们也可以先探索出bn，然后用数学归纳法证明。证：当n1时，bC111021得b11当n2时，bCbCb1212222122242·得当n3时，bCbCbCb131232333213323·得推测bnn，下用数学归纳法略证之：（1）当n1时，已验证成立。（2）假设nkkN()时，命题成立。即bCbCbCbCkkkkkkkk11223312…·成立，我们来证明当nk1时，命题亦成立。事实上，bCbCbCbCbCkkkkkkkkk1112123131111…bCCbCCbCCbCCbCkkkkkkkkkkkkkk10121232311()()()()…bCbCbCbCbCbCbCbCbCkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk10213211112233111122212()()()()……···则nk1时也成立。故存在等差数列bnn，使对任意nN，bCbCbCbCnnnnnnn112233…·21n成立。命题5的证明...