第3课时分析法A．基础巩固1．(2017年景德镇校级期中)要证明x＜，只要证明不等式M，不等式M不可能是()A．x2＜yB．|x|＜C．－x＜D．x＜0【答案】C【解析】若x2＜y，则x≤|x|＜，∴x＜，∴A，B都是x＜的充分条件；若x＞，显然有－x＜0＜，故C不是x＜的充分条件；若x＜0，则x＜0≤，∴x＜，∴D是x＜的充分条件．故选C．2．(2017年张掖期中)要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C．2－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0【答案】D3．设a＞0，b＞0且ab－(a＋b)≥1，则()A．a＋b≥2(＋1)B．a＋b≤2(＋1)C．a＋b≤(＋1)2D．a＋b＞2(＋1)【答案】A【解析】因为a＞0，b＞0，所以ab≤2.所以2－(a＋b)≥ab－(a＋b)≥1，即(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，解得a＋b≥2(＋1)或a＋b≤2(1－)(舍去)．4．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则()A．S≥2PB．P＜S＜2PC．S＞PD．P≤S＜2P【答案】D【解析】因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)≥2ab＋2bc＋2ca，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.所以S≥P.又a2＜a(b＋c)，b2＜b(c＋a)，c2＜c(a＋b)，相加得a2＋b2＋c2＜2ab＋2bc＋2ca，所以S＜2P.5．若＜＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2.其中正确的有________(填序号)．【答案】①④【解析】取a＝－，b＝－1代入验证知②③错误；①∵＜＜0，∴a＜0，b＜0，∴ab＞0，a＋b＜0，∴a＋b＜ab，故①正确；④∵＞0，＞0且a≠b，由均值不等式得＋＞2，故④正确．6．对a，b∈R，记max{a，b}＝则函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．【答案】【解析】在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|和y＝|x－2|的图象，数形结合可得f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝所以当x＝时，[f(x)]min＝.7．(2017年南通模拟)设a，b为互不相等的正实数，求证：4(a3＋b3)＞(a＋b)3.【证明】因为a＞0，b＞0，所以要证4(a3＋b3)＞(a＋b)3，只要证4(a＋b)(a2－ab＋b2)＞(a＋b)3，即要证4(a2－ab＋b2)＞(a＋b)2，1只需证3(a－b)2＞0，而a≠b，故3(a－b)2＞0成立．∴4(a3＋b3)＞(a＋b)3.B．能力提升8．设a，b，c均为正数且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则＋＞＋；(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．【证明】(1)要证＋＞＋，需证(＋)2＞(＋)2，即证a＋b＋2＞c＋d＋2，需证＞，即证ab＞cd，显然成立．(2)(充分性)＋＞＋⇒(＋)2＞(＋)2⇒a＋b＋2＞c＋d＋2⇒＞⇒ab＞cd.要证|a－b|＜|c－d|，需证(a－b)2＜(c－d)2，即证(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd，也就是证ab＞cd.显然成立．所以＋＞＋⇒|a－b|＜|c－d|.(必要性)|a－b|＜|c－d|⇒(a－b)2＜(c－d)2⇒(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd⇒ab＞cd.要证＋＞＋，需证(＋)2＞(＋)2，即证a＋b＋2＞c＋d＋2，也就是证＞.显然成立．所以|a－b|＜|c－d|⇒＋＞＋.所以＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．2
