第1课函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．【基础练习】1．设有函数组：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．2.设集合，，从到有四种对应如图所示：其中能表示为到的函数关系的有_____②③____．3.写出下列函数定义域：(1)的定义域为______________；(2)的定义域为______________；(3)的定义域为______________；(4)的定义域为_________________．4．已知三个函数:(1)；(2)；(3)．写出使各函数式有意义时，，的约束条件：(1)______________________；(2)______________________；(3)______________________________．5.写出下列函数值域：(1)，；值域是．1122xyO①y122xO②122xO③y122xO④y且且(2)；值域是．(3)，．值域是．【范例解析】例1.设有函数组：①，；②，；③，；④，．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；在②中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．例2.（1）求下列函数的定义域：①；②；（2）设函数，则函数的定义域为_____________．分析：（2）先求的定义域，得不等式组求解．解：（1）①由题意得：解得且或且，故定义域为．②由题意得：，解得，故定义域为．（2）由，解得，则故的定义域为．点评：（1）确定函数的定义域主要根据是使式子有意义，列出不等式（组）求解；（2）已知函数2的定义域为，求函数的定义域问题，由解出x的范围．例3.若函数的定义域为R，求实数a的取值范围．分析：化归为恒成立问题．解：由对任意恒成立，当时，成立；当时，不成立；当时，，解得．综上，实数a的取值范围是．点评：注意讨论二次项系数的情况．例4.求下列函数的值域：（1），；（2）；（3）．分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．（1）解：，，函数的值域为；（2）解法一：由，，则，，故函数值域为．解法二：由，则，，，，故函数值域为．（3）解：令，则，，当时，，故函数值域为．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】31．函数f(x)＝的定义域是___________．2．函数的定义域为_________________．3.函数的值域为________________．4.函数的值域为_____________．5．函数的定义域为_____________________．6．若函数的定义域为R，则实数的取值范围______________．7．设，则的定义域为______________．8．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则____4___．9.设集合对任意实数x恒成立}，则下列结论中：①PQ；②QP；③P=Q；④PQ=．其中正确结论的序号有______①______．10.已知函数与分别由下表给出：x1234f(x)2341(1)求的值；(2)若2时，求的值；(3)求满足的的值．解：（1）；（2）4；（3）1，411.记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B．(1)求A；(2)若BA，求实数a的取值范围．解：(1)由2－≥0，得≥0，x<－1或x≥1，即A=(－∞，－1)∪[1，+∞)．(2)由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．x1234g(x)21434∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1)．∵BA，∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2，而a<1，∴≤a<1或a≤－2，故当BA时，实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[,1)．12.对定义域分别是，的函数，，规定：函数（1）若函数，，，，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域．解：（1）（2）当时，；当时，；当时，；综上可知，．5
