立体几何031.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，梯形的周长为，所以四个侧面积为，所以该几何体的表面积为。2.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_________.【答案】【解析】取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。3.如右图,设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，，则A、D两点间的球面距离．【答案】【解析】因为AB、AC、AD两两互相垂直，所以分别以AB、AC、AD为棱构造一个长方体，在长方体的体对角线为球的直径，所以球的直径，所以球半径为,在正三角形中，，所以A、D两点间的球面距离为.4.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是cm．【答案】【解析】由三视图可知，该几何体试题是半个圆锥，如图底面半径为2，圆锥的高为3.圆锥的母线长为。所以底面积为，三角形,圆锥的底面弧长为，圆锥的侧面积为，所以圆锥的表面积为。5.已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm3.【答案】【解析】由三视图可知，该几何体为一个放到的四棱柱，以梯形为低，所以梯形面积为，四棱柱的高为1，所以该几何体的体积为。6.已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为.【答案】【解析】将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以,则球的表面积为.7.正三棱柱内接于半径为1的球，则当该棱柱体积最大时，高。【答案】【解析】根据对称性可知，球心位于正三棱柱上下底面中心连线的中点上。设正三棱柱的底面边长为，则，所以,所以高，由得，即正三棱柱底面边长的取值范围是。三棱柱的体积为,,即体积,当且仅当，即时取等号，此时高。8.（本小题满分14分）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．OFEDCBA【答案】解：（I）连接.由是正方形可知,点为中点.又为的中点，GABCDEFO所以∥………………….2分zyxOFEDCBAG又所以∥平面………….4分(II)证明：由所以由是正方形可知,又所以………………………………..8分又所以…………………………………………..9分(III)解法一：在线段上存在点，使.理由如下：如图，取中点，连接.在四棱锥中，，所以.…………………………………………………………………..11分由（II）可知，而所以，因为所以………………………………………………………….13分故在线段上存在点，使.由为中点，得……………………………………………14分解法二：由且底面是正方形，如图，建立空间直角坐标系由已知设，则设为线段上一点，且，则…………………………..12分由题意，若线段上存在点，使，则，.所以，，故在线段上存在点，使，且……………………14分9.（本小题满分14分）在长方体中，，点在棱上，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在棱上是否存在点，使∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求棱的长．【答案】证明：（Ⅰ）在长方体中，因为面，所以．……………………2分在矩形中，因为，所以．所以面．………………………………………………………………4分（Ⅱ）如图，在长方体中，以为原点建立空间直角坐标系．依题意可知，，，设的长为，则，．假设在棱上存在点，使得∥平面．设点，则，．易知．设平面的一个法向量为，则，即．………………………………………………7分令得，，所以．因为∥平面，等价于且平面．得，所以．所以，，所以的长为．………………………………9分（Ⅲ）因为∥，且点，所以平面、平面与面是同一个平面．由（Ⅰ）可知，面，所以是平面的一个法向量．………………………………11分由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量为．因为二面角的余弦值为，所以，解得．故的长为．…………………………………………………………14分
