2010~2014年高考真题备选题库第8章平面解析几何第8节圆锥曲线的综合问题1．(2014湖南，13分)如图所示，O为坐标原点，双曲线C1：－＝1(a1>0，b1>0)和椭圆C2：＋＝1(a2>b2>0)均过点P，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C1，C2的方程；(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|＋|＝||？证明你的结论．解：(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2,2a1＝2.从而a1＝1，c2＝1.因为点P在双曲线x2－＝1上，所以2－＝1.故b＝3.由椭圆的定义知2a2＝＋＝2.于是a2＝，b＝a－c＝2，故C1，C2的方程分别为x2－＝1，＋＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．(ⅰ)若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝或x＝－.当x＝时，易知A(，)，B(，－)，所以|＋|＝2，||＝2.此时，|＋|≠||.当x＝－时，同理可知，|＋|≠||.(ⅱ)若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m.由得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0.当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1＋x2＝，x1x2＝.于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.由得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0.化简，得m2＝2k2＋3，因此·＝x1x2＋y1y2＝＋＝≠0.于是2＋2＋2·≠2＋2－2·，即|＋|2≠|－|2，故|＋|≠||.综合(ⅰ)(ⅱ)可知，不存在符合题设条件的直线．2．(2014新课标全国Ⅱ，12分)设F1，F2分别是椭圆C:＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解：(1)根据a2－b2＝c2及题设知M，＝，故2b2＝3ac.将b2＝a2－c2，代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.(2)设直线MN与y轴的交点为D，由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及a2－b2＝c2代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2，3．(2014山东，14分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C∶＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．①设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；②求△OMN面积的最大值．解：(1)由题意知＝，可得a2＝4b2.椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.将y＝x代入可得x＝±，因此×＝，可得a＝2.因此b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)①设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)，因为直线AB的斜率kAB＝，又AB⊥AD，所以直线AD的斜率k＝－.设直线AD的方程为y＝kx＋m，由题意知k≠0，m≠0.由可得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0.所以x1＋x2＝－，因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.由题意知x1≠－x2，所以k1＝＝－＝.所以直线BD的方程为y＋y1＝(x＋x1)．令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1,0)．可得k2＝－.所以k1＝－k2，即λ＝－.因此存在常数λ＝－使得结论成立．②直线BD的方程y＋y1＝(x＋x1)，令x＝0，得y＝－y1，即N.由①知M(3x1,0)，可得△OMN的面积S＝×3|x1|×|y1|＝|x1||y1|.因为|x1||y1|≤＋y＝1，当且仅当＝|y1|＝时等号成立，此时S取得最大值，所以△OMN面积的最大值为4．(2014北京，14分)已知椭圆C:x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0
