第三章变化率与导数一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是()A.′＝1＋B．(log2x)′＝C．(5x)′＝5xlog5eD．(x2cosx)′＝2xsinx解析： ′＝1－；(5x)′＝5xln5；(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2x·cosx－x2sinx∴B选项正确．答案：B2．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则lim等于()A．2B．2xC．2＋ΔxD．2＋(Δx)2解析： ＝＝＝2＋Δx∴lim＝lim(2＋Δx)＝2.答案：A3．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f′的值为()A.B．0C．－1D．1解析：f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.∴f′＝cos＝0.答案：B4．一个物体的运动方程是s＝1－t＋t2，s的单位是米，t的单位是秒，该物体在3秒末的瞬时速度是()A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒解析： s′＝－1＋2t，∴s′(3)＝5，故选C.答案：C5．若对于任意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数为()A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1D．f(x)＝x4＋2解析： A、B、C、D满足f′(x)＝4x3，∴只要验证f(1)＝－1即可．答案：B6．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为()A．eB．－eC.D．－解析：y′＝，则＝k.∴直线x＝y过.1∴1＝ln，∴k＝.答案：C7．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为()A.e2B．2e2C．e2D．解析： y＝ex，∴y′＝ex，∴y′|x＝2＝e2＝k，∴切线为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.在切线方程中，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝1，∴S三角形＝×|－e2|＝.答案：D8．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝()A．2B．C．－D．－2解析：由y＝＝1＋，求导得y′＝－，所以切线斜率k＝y′|x＝3＝－，则直线ax＋y＋1＝0的斜率为2，所以－a＝2，即a＝－2.答案：D9．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间(1,2]上切线的倾斜角都是钝角，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]解析：g′(x)＝，要使g(x)在(1,2]上切线的倾斜角为钝角，则有g′(x)＝＜0，所以a＞0.而f(x)＝－x2＋2ax的对称轴为x＝a，由f(x)在(1,2]上切线的倾斜角为钝角知a≤1，故0＜a≤1.答案：D10．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A.B．∪C.D．∪解析：y′＝3x2－6x＋3－＝3(x－1)2－≥－，即tanα≥－，所以α∈∪.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________.解析：f′(x)＝(x3－ax2－4x＋4a)′＝3x2－2ax－4，由f′(－1)＝0，得a＝.答案：12．设f(x)为偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．解析： f(x)为偶函数，∴f′(x)为奇函数．又 f′(1)＝1，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－1.答案：－113．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为________．2解析：点(1,3)在直线y＝kx＋1上，则k＝2.∴2＝f′(1)＝3×12＋a⇒a＝－1，∴f(x)＝x3－x＋b. 点(1,3)又在曲线上，∴b＝3.答案：314．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析： f′(x)＝5ax4＋，x∈(0，＋∞)，∴由题知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解．即a＝－在(0，＋∞)上有解． x∈(0，＋∞)，∴－∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)求下列函数的导数：(1)y＝；(2)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；(3)y＝.解析：(1)y＝＝x3＋x－＋x－2sinx.∴y′＝3x2－x－－2x－3sinx＋x－2cosx.(2)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5，∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.(3)y′＝′＝＝.16．(12分)已知函数f(x)＝ax2－ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程．解析：(1)f′(x)＝2ax－a由已知得解得∴f(x)＝x2－2x＋.(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋...
