（江苏专用）高考数学大一轮复习 第九章 第52课 平面与平面的垂直要点导学-人教版高三全册数学试题VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第九章第52课平面与平面的垂直要点导学要点导学各个击破面面垂直的证明如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.(1)求证:PA⊥底面ABCD;(2)求证:平面BEF⊥平面PCD.(例1)[思维引导](1)直接利用两个平面垂直的性质定理是关键;(2)线面垂直是证明面面垂直的前提,证明线面垂直是关键;特别注意表述的规范性.[证明](1)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥平面ABCD.(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以ABED,所以四边形ABED为平行四边形.又因为AB⊥AD,所以BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PD∥EF,所以CD⊥EF,又BE∩EF=E,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.[精要点评](1)判定两个平面垂直的方法:①利用定义:证明二面角是直二面角;②利用判定定理:aα,a⊥βα⊥β.(2)在证明两平面垂直时,一般先从现有直线中寻找平面的垂线,若图中不存在这样的垂线,则可通过作辅助线来解决.(3)证明线面垂直是证得面面垂直的前提与本质.1如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等,D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点,求证:平面A1CD⊥平面A1ABB1.(变式)[证明]由已知得底面ABC是正三角形,又D为AB的中点,故CD⊥AB.由侧棱AA1⊥底面ABC,CD平面ABC,所以A1A⊥CD,又A1A∩AB=A,因此CD⊥平面A1ABB1,而CD平面A1CD,所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.面面垂直性质的应用如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,过A点作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.(1)求证:平面EFG∥平面ABC;(2)求证:BC⊥SA.(例2)[思维引导]对于(1),先判定E,F,G分别为各边中点,然后得到线面平行关系,再结合两平面平行的判定定理进行证明;对于(2),关键在于证明BC⊥平面SAB.[证明](1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.2因为BC平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA平面SAB,所以BC⊥SA.[精要点评]证明面面平行的关键是线面平行,证明线线垂直可先证明线面垂直.掌握并能熟练应用线面垂直的判定与性质定理,进行正确合理地转化,是解决此类问题的关键.如图,已知BC是半径为1的半圆O的直径,A是半圆周上不同于B,C的点,F为AC的中点.在梯形ACDE中,DE∥AC,且AC=2DE,平面ACDE⊥平面ABC.(1)求证:平面ABE⊥平面ACDE;(2)求证:平面OFD∥平面BAE.(变式)[证明](1)因为平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,AB平面ABC,又在半圆O中,AB⊥AC,所以AB⊥平面ACDE.因为AB平面ABE,所以平面ABE⊥平面ACDE.(2)设线段AC与OF交于点M,连接MD.因为F为AC的中点,所以OF⊥AC,M为AC的中点.因为AB⊥AC,OF⊥AC,所以OF∥AB.又OF⊄平面BAE,AB平面ABE,所以OF∥平面BAE.因为M为AC的中点,且DE∥AC,AC=2DE,所以DE∥AM,且DE=AM,所以四边形AMDE为平行四边形,所以DM∥AE.又DM⊄平面BAE,AE平面ABE,所以DM∥平面BAE.又MD∩OF=M,MD平面OFD,OF平面OFD,3所以平面OFD∥平面BAE.面面垂直的探索性问题如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)求证:AP⊥BC.(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.(例3)[思维引导]可以通过直线BC⊥平面PAD来证明BC⊥AP;二面角A-MC-B为直二面角即平面AMC⊥平面BMC,题目本意上是要找点,使得两平面垂直,因此可先考虑把面面垂直作为条件,然后去找点M需要满足的条件.[解答](1)因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC.因为PO⊥平面ABC,所以PO⊥BC.因为PO∩AD=O,所以BC⊥平面PAD,所以BC⊥PA.(2)如图,在平面PAB内,作BM⊥PA于点M,连接CM,由(1)知AP⊥BC,则AP⊥平面BMC,又AP平面APC,所以平面BMC⊥平面APC.在Rt△ADB中,由AB2=A...