高中数学2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理第2课时同步精练北师大版选修2-11．下列命题是真命题的有()①空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示；②空间中的任何一个向量都可用基底a，b，c表示；③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示；④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示．A．4个B．3个C．2个D．1个2．设命题p：a，b，c是三个非零向量；命题q：a，b，c为空间的一个基底，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是()A．2a，a－b，a＋2bB．2b，b－a，b＋2aC．a,2b，b－cD．c，a＋c，a－c4．在三棱柱ABCA1B1C1中，D是四边形BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝()A.a＋b＋cB.a－b＋cC.a＋b－cD．－a＋b＋c5．已知平行六面体OABCO′A′B′C′中，＝a，＝b，＝c.若D是四边形OABC的中心，则()A.＝－a＋b＋cB.＝－b＋a＋cC.＝a－b－cD.＝a＋c－b6．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，且f＝－a＋b＋c，k＝a＋b＋c，h＝a－b＋c，那么在f，k，h中与相等的向量是__________．17．如图，已知空间四边形OABC，M是OA的中点，G是△ABC的重心，用基底，，表示向量的表达式为________．8．已知ABCDA′B′C′D′是平行六面体，设M是底面ABCD的对角线的交点，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的点，且分的比是3∶1，设＝α＋β＋γ，则α，β，γ的值分别为________、________、________.9．已知a，b，c是空间的一个基底．求证：向量a＋b，b＋c，c＋a可以构成空间的一个基底．10．如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，＝i，＝j，＝k，试用基底i，j，k表示向量，.2参考答案1.解析：根据基底的含义可知②③是真命题．答案：C2.解析：若a，b，c为非零向量，则a，b，c不一定为空间的一个基底，但若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c肯定为非零向量，所以p是q的必要不充分条件．答案：B3.解析：设a＋2b＝λ(2a)＋μ(a－b)，得λ＝，μ＝－2，所以2a，a－b，a＋2b共面．同理可得B，D选项中的三个向量分别共面，均不能构成空间的一个基底．答案：C4.解析：＝＋＝＋(＋)＝c＋(－＋＋)＝c－a＋(－c)＋b＝－a＋b＋c.答案：D5.解析：＝＋＝－b＋(＋)＝－b＋a＋c.答案：B6.解析：求与相等的向量，就是用基向量a，b，c线性表示.＝＋＝＋(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋c＝f.答案：f7.解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝－＋＋.答案：－＋＋8.解析：∵＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝(－＋)＋(＋)＝＋＋，∴α＝，β＝，γ＝.答案：9.证明：假设a＋b，b＋c，c＋a不能构成空间的一个基底，则它们共面，故存在实数x，y，使a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)，即(y－1)a＋(x－1)b＋(x＋y)c＝0.∵a，b，c不共面，3∴y－1，x－1，x＋y同时为0，即x＝1，y＝1，x＋y＝0，这是不可能的．∴a＋b，b＋c，c＋a可以构成空间的一个基底．10.解：＝＝＝(＋＋＋－)＝＋－＝i＋j－k.＝＋＋＝＋＋＝－－＝－－＝－＋＝－i＋j＋k.4
