课时作业(十二)直线与双曲线的位置关系A组基础巩固1．双曲线－＝1(a≥1，b≥1)的离心率为2，则的最小值为()A.B.C．2D.解析： 双曲线－＝1(a≥1，b≥1)的离心率为2，∴＝2，∴＝4，∴b2＝3a2，∴＝＝， a≥1，∴在[1，＋∞)上单调增，∴≥，故选A.答案：A2．双曲线－＝1的被点P(2,1)平分的弦所在的直线方程是()A．8x－9y＝7B．8x＋9y＝25C．4x＋9y＝6D．不存在解析：点P(2,1)为弦的中点，由双曲线的对称性知，直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－2)，将y＝k(x－2)＋1代入双曲线方程得(4－9k2)x2－9(2k－4k2)x＋36k－45＝04－9k2≠0.Δ＝[－9(2k－4k2)]2－4(4－9k2)·(36k－45)＞0x1＋x2＝＝4解得k＝代入Δ得Δ＜0，故不存在直线满足条件．答案：D3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A．(1,2]B．(1,2)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)解析：根据双曲线的性质，过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan60°＝，即≥，则＝≥，故有e2≥4，e≥2，故选C.答案：C4．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A．4B．3C．2D．1解析：由已知点P(1,0)是双曲线的右顶点，故过点P(1,0)且与x轴垂直的直线与双曲线相切，它们只有一个公共点．另外过点P(1,0)且与其中一条渐近线平行的直线与双曲线相交，它们只有一个公共点．所以满足条件的直线l有三条．答案：B5．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析： kAB＝＝1，∴直线AB的方程为y＝x－3.由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9.设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则－＝1.整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2×(－12)，∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2.又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.∴双曲线E的方程为－＝1.答案：B6．双曲线－y2＝1，(n＞1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为()A.B．1C．2D．4解析：不妨设F1，F2是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，|PF1|－|PF2|＝2①|PF1|＋|PF2|＝2②，由①②解得：|PF1|＝＋，|PF2|＝－.得：|PF1|2＋|PF2|2＝4n＋4＝|F1F2|2，∴PF1⊥PF2.又由①②分别平方后作差得：|PF1||PF2|＝2，故选B.答案：B17．直线l：y＝k(x－)与曲线x2－y2＝1(x＞0)相交于A、B两点，则直线l的倾斜角的范围是__________．解析：由得x2－k2(x－)2＝1，即(1－k2)x2＋2k2x－2k2－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知解得k2－1＞0，即k＞1或k＜－1，∴直线的倾斜角范围是∪.答案：∪8．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是________．解析：①当直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线有一个交点，此时直线斜率为±；②当直线与双曲线有两个交点，且在两支上时，由－＝1，得b2＝4，a2＝12，∴c＝4.设直线方程为y＝k(x－4)，由得(1－3k2)x2＋24k2x－48k2－12＝0，∴x1x2＝＜0，∴1－3k2＞0.∴－＜k＜.答案：9．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于________．解析：当直线l与双曲线的渐近线平行时，与双曲线的右支有唯一交点，直线l的斜率为±1.答案：±110．已知点N(1,2)，过点N的直线交双曲线x2－＝1于A，B两点，且ON＝(OA＋OB)．(1)求直线AB的方程；(2)求|AB|.解析：由题意知直线AB的斜率存在．设直线AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－＝1，得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*)令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程(*)的两根，∴2－k2≠0，且x1＋x2＝. ON＝(OA＋OB)，∴N是AB的中点，∴＝1，∴k(2－k)＝－k2＋2，k＝1，代入(*)得Δ＝4－4×1×(－3)＝16＞0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.(2)将k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，∴不妨设A(－1,0)，B(3,4)．|AB|＝＝4...
