高二数学空间几何体的面积和体积知识精讲VIP免费

高二数学空间几何体的面积和体积【本讲主要内容】空间几何体的面积和体积常见多面体和旋转体的面积及体积公式的应用【知识掌握】【知识点精析】1.常见公式正方体的表面积Sa62；正方体的体积Va3；长方体的表面积Sabbcca2()；长方体的体积Vabc；棱柱的体积VSh；棱锥的体积VSh13；棱台的体积VSSSSh13('')；圆柱的表面积Srrh222；圆柱的体积VShrh2；圆锥的侧面积Srl；圆锥的体积VShrh13132；圆台的侧面积Srrl(')；圆台的体积VSSSShrrrrh131322('')('')；球的表面积SR42；球的体积VR433。2.割补思想在多面体体积问题中的体现有时为了计算某些多面体的体积，往往将多面体分割成两个或多个特殊的多面体（如三棱锥），然后使用公式分别计算；有时也将多面体补成特殊的多面体（如正方体、长方体或三棱锥等），然后使用公式分别计算出补成的多面体的体积和补添部分的体积，做差可得要求多面体的体积。3.等体积法用来解决点到直线的距离构造一个三棱锥。所求的点到平面的距离为三棱锥的高，设为h，与之相对应的底面面积可求，此三棱锥的另一组底面面积及高也可求，便可以利用体积相等，得到一个关于h的方程。通过解方程就可以计算出点到平面的距离。【解题方法指导】例1.已知如图所示，正方体ABCDABCD1111中，E、F、G分别为AB、BB1、BC上的点，BE=BG=2，BF=3，AA1=4。求三棱锥D1—EFG的体积。用心爱心专心DCGAEBD1FC1A1B1H思路：为求三棱锥的体积，我们往往先找一个易于计算的底面，再考虑它上面的高，三棱锥DEFG1的四个面中没有一个面与正方体的面重合，进一步分析后发现，△EFG为等腰三角形，由已知条件可以求出它的三边的长，可进而求出面积，但底面EFG上的高既不好作也不好算，于是考虑进行等积变形，使△EFG不变，而将点D1，在与平面EFG平行的直线上平移，将D1平移到一个特殊的位置。解：连AC11，则EGAC//11，过D1作DHAC111//交B1C1延长线于H则DHEG1//，DHEFG1//平面VVVDEFGHEFGEFGH三棱锥三棱锥三棱锥1为了便于计算△FGH的面积作平面图如下BGCFB1C1H点评：熟练掌握并使用等积变换来求多面体的体积可以大大简化计算步骤。例2.已知A、B、C是球面上的三点，AB=18cm，BC=24cm，AC=30cm，平面ABC与球心的距离恰好等于球半径的一半，求球面面积及球体积。思路：由AB、BC、AC的特殊关系，得出三角形的形状，然后利用球的性质来进行计算。解：由于ABBCAC222222182430用心爱心专心ABCABCOACORABCOOCcm为直角三角形的外心在中点上设球心为，球半径为，的外接圆的半径11115所以球面面积为4120022Rcm球体积VRcm434000333点评：熟练掌握特殊三角形的数量关系及特殊空间位置关系，使解题快捷有效。【考点突破】【考点指要】本专题中几何体的面积与体积是高考中的热点，其中多面体的体积，以及球等旋转体的面积计算尤为侧重。对于多面体的体积的计算可以通过等积变换或割补法来实现，而等积变换又分为：（1）图形不变，变换底面和顶点；（2）底面不变，变换顶点；（3）顶点不变，变换底面，共三种类型。对于旋转体的面积计算要学会侧面展开法。【典型例题分析】例1.如图所示，在体积为1的三棱锥A—BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，记O为平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O—BCD的体积是（）A.19B.18C.17D.14解析：设BG与DE交于M，CG与DF交于N连CM、BN，则CM为面BCG与面CDE的交线BN为面DBF与面BCG的交线，则CM与BN交于O点设点A到BCD的距离为h由AG：GD=2：1可知G到平面BCD的距离为13h用心爱心专心又知GMMB23∴M到平面BCD的距离为35315hh又MOOC25所以O点到面BCD距离为57157hh因为三棱锥A—BCD的体积为1所以O—BCD的体积应为17，故选C。例2.如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P—ABCD中，ABC90°，SA面ABCD，SAABBC1，AD12。（1）求四棱锥SABCD的体积；（2）求面SCD与面SBA所成二面角的正切值。SBCFDAE解： 四棱锥S—ABCD中ABCD为直角梯形又 BCABADAB，又面，，又，，平面SAABCDSAABSAA...