2.1～2.3教材解读（一）1．数列数列是按照一定次序排列的一列数，那么它必定有开头的数，有相继的第二个数，第三个数，，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每个序号也都对应于数列中的一个数．因此，数列可以看作是定义在正整数集N（或它的有限子集123n，，，，）上的函数()fn当自变量从1开始依次取正整数时，相对应的一列函数值(1)(2)(3)()ffffn，，，，，．通过用na代替()fn，于是数列的一般形式常记为123naaaa，，，，，或简记为na，其中na表示数列na的通项．这里应注意的是：（1）na与na是不同的概念．na表示数列123naaaa，，，，，，而na表示的是这个数列的第n项．（2）数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数列中各项的位置序号，它是自变量的值．如在数列na中，282a，是数列的项数，8是数列的项．（3）数列与数集是不同的概念．数列和数集都是具有某些共同属性的数的全体．数列中数的有序性是数列定义的灵魂，而数集中的元素（数）是无序的．因此如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列．如，数列1，2，3与数列3，2，1是不同的数列，而集合123321，，，，．2．数列的通项公式数列就是有规律的一列数，其内涵的本质属性就是确定这一列数的规律，这个规律通常是用通项公式()()nafnnN来表示的．当一个数列na的第n项na与项数n之间的函数关系可以用一个公式()nafn来表示时，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．如果知道一个数列的通项公式，只要用具体的项数来代替函数关系式中的n就可以写出这个数列中的任意一项．不是所有的数列都有通项公式，正象不是所有的函数关系都能用解析式表示一样．有的数列即使有通项公式，它的形式也不一定是惟一的．有些数列，并没有给定它的构成规律，只给出有限的几项，那么根据这有限的几项归纳出来的“通项公式”便不是惟一的．3．数列的表示方法数列可以看作是以正整数集N（或它的有限子集123n，，，，为定义域的函用心爱心专心数()nafn）当自变量从小到大依次取值时，所对应的一列函数值．因此，可以说数列具有特殊的函数，所以从函数的观点看，数列的表示方法有以下三种：（1）解析法解析法可分为通项公式和递推公式两种，通项公式已在前面论述了，递推公式是利用数列前后项之间的关系给出数列的构成规律，那么通过知道数列中的一些项，就可以求出后面的项．递推公式也是给出数列的一种重要方法．有些数列，虽然它给出的是递推公式，但可以根据递推公式，求出它的前几项，进而归纳出它的通项公式．（2）列表法列表法――就是列出表格来表示数列na中na与n的关系．例如数列1，3，5，7，，可以用下面表格表示：nna（3）图象法在直角坐标系里，以n和()fn为点的坐标，即(())nfn，，描出一些孤立的点，这些点的个数可以是无限的，也可以是有限的．切记不要把这些点连成线，因为此时的定义域是正整数集N（或它的有限子集）而不是实数集R．4．数列的分类（）有穷数列、无穷数列按数列的项数是有限还是无限来分类分为有穷数列和无穷数列．切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的项数再多，只要是有限项，那么它也是有穷数列．（）单调数列，摆动数列常数列按前后项之间的大小关系来分，从第二项起，每一项都不大于它的前一项的数列，称之为递减数列；每一项都不小于它的前一项的数列，称之为递增数列；若有些项大于后面的项，有些小于后面的项，称之为摆动数列；若数列里面的所有项均为同一个常数，则称之为常数列．递增数列和递减数列，称为单调数列．5．已知数列的前n项和公式nS，求数列的通项公式在已知nS，求na时，我们可以利用1(2)nnnaSSn≥，这里常常因为忽略了条件2n≥而出错．由此求得na不一定就是它的通项公式，因此，必须要验证1n时是否也成立，否则通项公式只能用11(1)(2)nnnSnaSSn≥来表示．用心爱心专心
