高中数学向量与三角形问题专题辅导VIP专享VIP免费

高中数学向量与三角形问题平面向量的应用十分广泛。由于三角形中的有关线段可以视为向量，线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示，这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件。在这类问题中，往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质，因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强。本文就此介绍几例，以供参考一、运用向量知识求三角形面积例1.已知△ABC，AB(coscos)2367°，°，BC(coscos)268222°，°，试求△ABC的面积。解：因BA(coscos)2367°，°，BC(coscos)268222°，°，所以||||BABC12，，BABC·°°°·°2236826722coscoscoscos2452cos°，即2BA·BCBABCB||||cos，则cosB21222×，，则△ABC的面积为：1222||||sinBABCB。二、运用向量知识判断三角形形状例2.在△ABC中，()BCCA·：()()CAABABBC·：·＝1：2：3，试判断△ABC的形状。解：设BCCAkCAABkABBCkk·，·，·≠230()，令||BC＝a，||CAb，||ABc。因BCCABCCA·||||cos()cosCabC，而abCcos＝12222()abc，所以abck2222。同理可得bcak2224，ca22bk26。三式联立解得ckbkak222534，，，显然k0，从而ck5，bk3，ak4，故abc：：：：235。因此最大角的余弦为cosCkkkkk435243360××，最大角C为锐角，故△ABC为不等边的锐角三角形。注：设定比例常数k是解题的关键，同时注意向量之间的夹角和三角形内角的区分。三、运用向量知识处理三角形中最值问题例3.已知△OFP的面积S26，且OFFPmOFcmc·，，||()6412，问当c为何值时，||OP取得最小值。解：如下图，以O为坐标原点，直线OF为x轴建立平面直角坐标系，则O（0，0），F（c，0）。设P（xy00，），则FPxcy()00，，用心爱心专心SOFyOFP△12260||||，得。而OFFPcxcmc·()()02641，xc064。||OPxycc020222389623，当且仅当389622cc，即c4时等号成立。故c4时，||OP取得最小值23。注：建立恰当的直角坐标系，熟练进行向量的坐标运算是解题的关键。四、运用向量知识求三角形中相关量的值或范围例4.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a、b、c成等比数列，cosBBABC3432，·，求ac的值。解：由BABC·32，得caBBcacoscos32342，而，则又因为a、b、c成等比数列，bcacacaB22222cos，即caca22259，，()可得ac3。例5.已知△ABC的面积为S，且ABBC·＝1，122S，求内角B的取值范围。解：ABBC·1，BABC·1，即||||cosBABCB1①又SBABCB12||||sin②②÷①得SB12tan，即12122tanB41tanB，于是arctan434B。注：弄清两个非零向量的数量积中的夹角是解题的关键所在。用心爱心专心