第2节圆与直线、圆与四边形【选题明细表】知识点、方法题号圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题1圆内接四边形的判定和性质2四点共圆3圆的综合问题41.(2016大同调研)如图,AB是☉O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交☉O于D,DE⊥AC交AC延长线于点E,OE交AD于点F.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若=,求的值.(1)证明:连接OD,因为OA=OD,所以∠ODA=∠OAD,因为∠BAC的平分线是AD,所以∠OAD=∠DAC,所以∠DAC=∠ODA,可得OD∥AE.又因为DE⊥AE,所以DE⊥OD,因为OD是☉O的半径,所以DE是☉O的切线.(2)解:连接BC,DB,过D作DH⊥AB于H,因为AB是☉O的直径,所以∠ACB=90°,Rt△ABC中,cos∠CAB==.因为OD∥AE,所以∠DOH=∠CAB,所以cos∠DOH=cos∠CAB=.因为Rt△HOD中,cos∠DOH=,所以=,设OD=5x,则AB=10x,OH=3x,所以Rt△HOD中,DH==4x,AH=AO+OH=8x,Rt△HAD中,AD2=AH2+DH2=80x2,因为∠BAD=∠DAE,∠AED=∠ADB=90°.所以△ADE∽△ABD,可得=,所以AD2=AE·AB=AE·10x,而AD2=80x2,所以AE=8x,又因为OD∥AE,所以△AEF∽△DOF,可得==.2.(2016银川市模拟)如图,已知四边形ABCD内接于圆O,且AB是圆O的直径,过点D的圆O的切线与BA的延长线交于点M.(1)若MD=6,MB=12,求AB的长;(2)若AM=AD,求∠DCB的大小.解:(1)因为MD为圆O的切线,所以由切割线定理知MD2=MA·MB,又MD=6,MB=12,MB=MA+AB,所以MA=3,AB=12-3=9.(2)因为AM=AD,所以∠AMD=∠ADM,连接DB,又MD为圆O的切线,所以由弦切角定理知∠ADM=∠ABD,又因为AB是圆O的直径,所以∠ADB为直角,即∠BAD=90°-∠ABD.又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD,于是90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°.又四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°,所以∠DCB=120°.3.如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.(1)证明:C,B,D,E四点共圆;(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.(1)证明:连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中,AD·AB=mn=AE·AC,即=.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,因此∠ADE=∠ACB,所以∠ACB+∠EDB=180°,所以C,B,D,E四点共圆.(2)解:m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12,故AD=2,AB=12.取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC,从而HF=AG=5,DF=(12-2)=5,故C,B,D,E四点所在圆的半径为5.4.(2015高考新课标全国卷Ⅱ)如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EF∥BC;(2)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.(1)证明:由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)解:由(1)知AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为☉O的弦,所以O在AD上.连接OE,OM,则OE⊥AE.由AG等于☉O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE=2,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=MN=,所以OD=1.于是AD=5,AB=.所以四边形EBCF的面积为×（）2×-×(2)2×=.
