第33讲平面向量的数量积1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(B)A．4B．3C．2D．0a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.因为|a|＝1，a·b＝－1，所以原式＝2×12＋1＝3.2．(2018·汕头模拟)若两个非零向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，|a＋2b|＝3，则a，b的夹角是(D)A.B.C.D．π因为|b|＝2|a|＝2，|a＋2b|＝3，所以(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝9，得a·b＝－2.所以cosθ＝＝＝－1，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.3．(2016·山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(B)A．4B．－4C.D．－因为n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，所以t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.又4|m|＝3|n|，所以t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4.故选B.4．(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(C)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥b.由a⊥b得|a－3b|＝，|3a＋b|＝，能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．5．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝－2.因为|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，所以a·b＝0.又a＝(m,1)，b＝(1,2)，所以m＋2＝0，所以m＝－2..6．(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ∈R)，且AD·AE＝－4，则λ的值为.由题意，知|AB|＝3，|AC|＝2，AB·AC＝3×2×cos60°＝3，AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，所以AD·AE＝(AB＋AC)·(λAC－AB)＝AB·AC－AB2＋AC2＝×3－×32＋×22＝λ－5＝－4，解得λ＝.7．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝.(1)求a与b的夹角；(2)求a－b与a＋b的夹角的余弦值．(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，所以|a|2－|b|2＝，又因为|a|＝1，所以|b|＝＝.设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以θ＝45°.(2)因为(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝，所以|a－b|＝.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝，所以|a＋b|＝.设a＋b与a－b的夹角为α，则cosα＝＝＝.8．(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为(A)A.B.C.D．3如图，以D为坐标原点建立直角坐标系．连接AC，由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0，0)，A(1，0)，B(，)，C(0，)．设E(0，y)(0≤y≤)，则AE＝(－1，y)，BE＝(－，y－)，所以AE·BE＝＋y2－y＝(y－)2＋，所以当y＝时，AE·BE有最小值.9．(2018·深圳一模)在△ABC中，AB⊥AC，|AC|＝，BC＝BD，则AD·AC＝____．因为AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)，所以AD·AC＝AB·AC＋(AC2－AB·AC)，＝AC2＝＝.10．(2017·江苏卷)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cosx＝3sinx.若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0.于是tanx＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－)＝3cosx－sinx＝2cos(x＋)．因为x∈[0，π]，所以x＋∈[，]，从而－1≤cos(x＋)≤.于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
