4.2.1直线与圆的位置关系A级基础巩固一、选择题1．直线3x－4y＋6＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的位置关系是()A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心解析：圆心(2，3)在直线3x－4y＋6＝0上，即直线与圆相交且过圆心．答案：C2．若圆C的半径长为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1解析：设圆心坐标为(a，b)，(a>0，b>0)，由圆与直线4x－3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，化简得|4a－3b|＝5①，又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)，把b＝1代入①得：4a－3＝5或4a－3＝－5，解得a＝2或a＝－(舍去)，所以圆心坐标为(2，1)，则圆的标准方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A.答案：A3．直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦AB长等于()A．4B．2C．2D.解析：直线y＝kx过圆心，被圆x2＋y2＝2所截得的弦长恰为圆的直径2.答案：C4．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为()A.B．4－C.＋4D．0解析：距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径，即＋4.答案：C5．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于()A．1B．2C．0D．－2解析：因为四边形OAMB为平行四边形，且点M在圆C上，所以四边形OAMB为菱形，所以△OAM为等边三角形，且边长为2，所以弦AB的长为2.又直线过定点N(0，1)，且过N的弦的弦长最小值为2，此时此弦平行于x轴，即k＝0.故选C.答案：C二、填空题6．已知直线x＝k(k<0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，则k的值为________．解析：由题意知|k－1|＝2，所以k＝－1或k＝3.因为k<0，所以k＝－1.答案：－17．由动点P(x，y)引圆O：x2＋y2＝4的两条切线，切点为A，B，若∠APB＝90°，则点P的轨迹方程是________________________．解析：由题意知|AO|＝2，|PO|＝2，所以点P的轨迹方程是x2＋y2＝8.答案：x2＋y2＝88．圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c等于________．解析：由题意得圆心C(1，－2)，半径r＝5，圆心C到直线5x－12y＋c＝0的距离d＝，又r2＝d2＋42，所以25＝＋16，解得c＝10或c＝－68.答案：10或－68三、解答题9．已知直线l：y＝x＋m，m∈R.若以点M(2，0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．解：法一依题意，点P的坐标为(0，m)．因为直线MP⊥l，所以×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0，2)，从而圆的半径长r＝|MP|＝＝2，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.法二设所求圆的半径长为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.10．已知直线x＋7y＝10把圆x2＋y2＝4分成两段弧，求这两段弧长之差的绝对值．解：圆x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r＝2，设直线x＋7y＝10与圆x2＋y2＝4交于M，N两点，则圆心O到直线x＋7y＝10的距离d＝＝，过点O作OP⊥MN于点P，则|MN|＝2＝2.在△MNO中，|OM|2＋|ON|2＝2r2＝8＝|MN|2，则∠MON＝90°，这两段弧长之差的绝对值等于2πr×－×2πr＝×2πr＝2π.B级能力提升1．已知点P(x0，y0)，圆O：x2＋y2＝r2(r>0)，直线l：x0x＋y0y＝r2，有以下几个结论：①若点P在圆O上，则直线l与圆O相切；②若点P在圆O外，则直线l与圆O相离；③若点P在圆O内，则直线l与圆O相交；④无论点P在何处，直线l与圆O恒相切．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：根据点到直线的距离公式有d＝，若点P在圆O上，则x＋y＝r2，d＝r，相切；若点P在圆O外，则x＋y>r2，dr，相离，故只有①正确．答案：A2．已知圆x2－2ax＋y2＝0(a＞0)与直线l：x－y＋3＝0相切，则a＝________．解析：由题意得，圆心(a，0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝a，又a＞0，得a＝3.答案：33．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1，2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．解：(1)图①法一(...
