高考数学中的数列综合题选讲VIP免费

高考中的数列综合题选讲1.（2006陕西文、理）已知正项数列，其前n项和Sn满足10Sn=＋5an＋6，且a1，a3，a15成等比数列，求数列的通项an.解: 10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 an+an－1>0,∴an－an－1=5(n≥2).当a1=3时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n－3.2.（2007山东理）设数列满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=.(Ⅰ)求数列的通项；（Ⅱ）设bn=，求数列的前n项和Sn.解:(I)验证时也满足上式，(II)，，3.（2006全国Ⅰ卷理）设数列的前项的和，，（Ⅰ）求首项1a与通项na；（Ⅱ）设2nnnTS，,3,2,1n，证明：132niiT解:(Ⅰ)由Sn=an－×2n+1+,n=1,2,3，…,①得a1=S1=a1－×4+所以a1=2.再由①有Sn－1=an－1－×2n+,n=2,3，4,…将①和②相减得:an=Sn－Sn－1=(an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得Sn=×(4n－2n)－×2n+1+=×(2n+1－1)(2n+1－2)=×(2n+1－1)(2n－1)Tn==×=×(－)所以,1niiT=1(ni－)=×(－)<4．（2005湖北文）设数列}{na的前n项和为Sn=2n2，}{nb为等比数列，且.)(,112211baabba（Ⅰ）求数列}{na和}{nb的通项公式；（Ⅱ）设nnnbac，求数列}{nc的前n项和Tn.解：（1）：当;2,111San时,24)1(22,2221nnnSSannnn时当故{an}的通项公式为4,2}{,241daanann公差是即的等差数列.设{bn}的公比为.41,4,,11qdbqdbq则故.42}{,4121111nnnnnnbbqbb的通项公式为即（II）,4)12(422411nnnnnnnbac]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nnnnnnnnTncccT两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321nnnnnnnTnnT5.(1994全国文)设数列｛an｝的前n项和为Sn,若对于所有的自然数n,都有证明｛an｝是等差数列.证法一：令d=a2－a1.下面用数学归纳法证明an=a1+(n－1)d(n∈N).(1)当n=1时上述等式为恒等式a1=a1.当n=2时，a1+(2－1)d=a1+(a2－a1)=a2，等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立，ak=a1+(k－1)d.由题设，有Sk=21kaak，Sk+1=2111kaak，又Sk+1=Sk+ak+1∴(k+1)111122kkkaaakaa把ak=a1+(k－1)d代入上式，得(k+1)(a1+ak+1)=2ka1+k(k－1)d+2ak+1.整理得(k－1)ak+1=(k－1)a1+k(k－1)d. k≥2，∴ak+1=a1+kd.即当n=k+1时等式成立.由(1)和(2)，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列.证法二：当n≥2时，由题设，21111nnaanS，21nnaanS.所以an=Sn－Sn－1=21naan－2111naan同理有an+1=2111naan－21naan.从而an+1－an=2111naan－n(a1+an)+2111naan，整理得an+1－an=an－an－1=…=a2－a1从而{an}是等差数列.6.（2006福建文）已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN（I）证明：数列1nnaa是等比数列；（II）求数列na的通项公式；（Ⅲ）若数列nb满足12111*44...4(1)(),nnbbbbnanN证明nb是等差数列。（I）证明：2132,nnnaaa21112*2112(),1,3,2().nnnnnnnnaaaaaaaanNaa1nnaa是以21aa2为首项，2为公比的等比数列。（II）解：由（I）得*12(),nnnaanN112211()()...()nnnnnaaaaaaaa12*22...2121().nnnnN（III）证明：1211144...4(1),nnbbbbna12(...)42,nnbbbnb122[(...)],nnbbbnnb①12112[(...)(1)](1).nnnbbbbnnb②②－①，得112(1)(1),nnnbnbnb...