专题17三角函数的最值的求解策略【高考地位】三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】方法一化一法使用情景：函数表达式形如类型解题模板：第一步运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如形式；第二步利用辅助角公式化为只含有一个函数名的形式；第三步利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.例1已知函数，则在上的最大值与最小值之差为．【答案】，即为换元思想，把看作一个整体，利用的单调性即可得出最值，这是解决的常用做法．【变式演练1】设当时，函数取得最大值，则__________．【答案】【变式演练2】已知函数的最小正周期是．(1)求的单调递增区间；(2)求在[，]上的最大值和最小值．【答案】(1)；(2)最大值、最小值(2)当时，,所以在上的最大值和最小值分别为、.考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数的性质；【变式演练3】已知函数图象的一条对称轴是，且当时，函数取得最大值，则．【答案】【解析】考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换．【变式演练4】已知的定义域为[].(1)求的最小值.(2)中,,,边的长为函数的最大值,求角大小及的面积.【答案】(1)函数的最小值；(2)的面积.【解析】考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.【变式演练5】已知函数.（I）求的最小正周期和最大值；（II）求在上的单调递增区间．【答案】（I）的最小正周期为，最大值为；（II）．【解析】试题分析：（I）利用三角恒等变换的公式，化简，即可求解的最小正周期和最大值；（II）由递增时，求得，即可得到在上递增．试题解析：（I）的最小正周期为，最大值为1；（II）当递增时，，即,所以，在上递增即在上的单调递增区间是考点：三角函数的图象与性质．方法二配方法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步得出结论.例2函数的最小值为．【答案】【变式演练6】已知函数有最大值，求实数的值．【答案】或【解析】试题分析：，令，则，对称轴为，考点：三角函数的最值．【点评】解本题的关键是利用换元法转化为关于的二次函数，根据的取值范围[－1，1]，利用对称轴进行分类讨论求出最大值，解出a的值．【变式演练7】函数的最小值是__________．【答案】【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈，化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1设sinx+cosx=t，则t=sin（x）x+，那么函数化简为：g（t）=t2+t﹣1． x∈∴x+∈[0，]，所以：． 函数g（t）=t2+t﹣1．开口向上，对称轴t=－，∴是单调递增．当t=0时，g（t）取得最小值为-1．求函数的最大值与最小值.方法三直线斜率法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步得出结论.例3求函数的最值.【答案】的最大值为，最小值为.【变式演练8】求函数在区间上的最小值.【答案】【点评】若函数表达式可化为形如（其中，为含有三角函数的式子），则通过构造直线的斜率，通过数与形的转化，利用器几何意义来确定三角函数的最值.【高考再现】1.【2017全国III文，6】函数的最大值为（）A．B．1C．D．【答案】A所以选A.【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征2.【2016高考新课标1卷】已知函数为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为()（A）11（B）9（C）7（D）5【答案...
